§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА

Первый, кто в самой аналитической геометрии сделал дальнейший шаг вперед, был Ньютон. В 1704 г. он рассмотрел теорию линий 3-го порядка, т. е. линий, выражаемых алгебраическими уравнениями 3-й степени с двумя неизвестными. В той же работе Ньютон нашел, между прочим, изящную общую теорему о «диаметрах», соответствующих секущим данного направления. Он показал следующее.

Рис. 11.

Пусть дана линия порядка, т. е. линия, выражаемая алгебраическим уравнением с двумя переменными степени, тогда любая прямая, секущая ее, имеет, вообще говоря, с ней общих точек. Пусть М — точка секущей, которая является «центром тяжести» этих точек ее пересечения с рассматриваемой линией порядка, т. е. центром тяжести совокупности равных друг другу точечных масс, расположенных в этих точках. Оказывается, если брать всевозможные параллельные друг другу секущие и для каждой из них рассматривать этот центр тяжести М, то все эти точки М лежат на одной прямой. Эту прямую Ньютон назвал «диаметром» линии порядка, соответствующим данному наклону секущих. Доказательство этой теоремы при помощи аналитической геометрии въвсе нетрудно, поэтому мы его приведем.

Пусть дана линия порядка и некоторые параллельные друг другу ее секущие. Возьмем такие оси координат, чтобы эти секущие были параллельны оси (рис. 11). Тогда их уравнения будут иметь вид где I для разных этих секущих — разные постоянные. Пусть то уравнение, которое выражает рассматриваемую линию порядка в этих координатных осях. Легко показать, что при переходе от одних прямоугольных осей к другим, хотя уравнение линии и меняется, но порядок его не меняется (это будет сделано в § 8). Поэтому будет тоже многочлен степени. Для нахождения абсцисс точек пересечения нашей линии с секущей надо согмество решить уравнения , в результате чего получится уравнение, вообще говоря, степени относительно х

из которого находят абсциссы Абсцисса центра тяжести точек пересечения по самому определению центра тяжести равна

Но, как известно из теории алгебраических уравнений, сумма корней уравнения равна коэффициенту при степень неизвестной х, взятому с обратным знаком, разделенному на коэффициент при степени. А так как сумма показателей над х и у в каждом члень равна или меньше, то член с вовсе не содержит у и имеет вид где А — постоянное, а члены с если и содержат у, то не выше чем в 1-й степени, т. е. имеют вид .

Рис. 12.

Рис. 13.

Следовательно, коэффициент при есть А, а при есть и мы имее для данного 1

Но секущая параллельна оси и во всех ее точках а следовательно, и Ордината центра тяжестд точек ее пересечения с рассматриваемой линией порядка также равна таким образом мы получим окор чательно т. е. координаты всех рассматриваемых центров тяжести всех этих секущих удовлетворяют уравнении. 1-й степени, и, следовательно, эти центры тяжести лежат на прямой.

Случай, когда в F (х, у) не входит , исследуется аналогично.

В случае линий 2-го порядка центр тяжести двух точек есть просто середина между ними, и получается, что геометрическое месте середин параллельных хорд линии 2-го порядка есть прямая (рис. 12) что было как для эллипса, так для гиперболы и параболы уже извести, древним. Но ими это доказывалось, даже и для этих частных случаеь довольно трудными геометрическими рассуждениями, а тут новая, известная древним, общая теорема доказана совсем просто.

Такие примеры обнаруживают силу аналитической геометрии.