Скалярное произведение и его свойства.

Если даны два вектора а и то число, равное произведению их длин на косинус угла между ними называют их скалярным произведением и обозначают через или . Пусть — координаты вектора z — координаты вектора в таком случае скалярное произведение равно

т. е. равно сумме произведений их одноименных координат.

Эта важная формула доказывается так. Сделаем сперва следующие замечания:

1° Если мы помножим один из скалярно умножаемых векторов, например а, на число X, то на это же число помножится, очевидно, и их скалярное произведение, т. е.

2° Скалярное умножение распределительно, т. е. если вектор то

Рис. 46.

Действительно, левая часть этого равенства равна произведению длины вектора на численную величину проекции вектора а на ось вектора (рис. 46), а правая — произведению длины вектора на сумму численных величин проекции вектора на ось вектора Но что и доказывает справедливость равенства.

Пусть теперь даны два вектора а и и их разложения по векторам суть тогда

В силу распределительности (2°) скалярного умножения суммы векторов, стоящих в скобках, можно умножать как многочлены, а в еилу (1°) скалярные множители можно в каждом полученном члене собирать в начале, поэтому

Но

Следовательно

Таким образом,

Заметим, в частности, что если векторы а и взаимно перпендикулярны, то . Поэтому равенство

служит легко проверяемым условием перпендикулярности векторов аж Угол между двумя направлениями. Рассмотрим некоторое направление, характеризуемое своими углами с осями координат.

Рис. 47.

Рис. 48.

Проведем через начало координат прямую этого направления и отложим на ней от начала отрезок ОА, равный единице (рис. 47). В таком случае координаты точки А, т. е. координаты вектора ОА, суть как раз Если имеется еще второе направление, задаваемое углами , то аналогичный вектор для зтого второго направления имеет координаты (рис. 48). Пусть угол между этими векторами, тогда скалярное их произведение равно откуда мы находим

Это весьма важная формула для косинуса угла между двумя направлениями.