Задача Гурвица.

В механике, именно в теории колебаний и регулирования, очень важны условия, позволяющие узнать, будут ли все корни данного многочлена (с действительными коэффициентами) иметь отрицательные, действительные части, т. е. будут ли все корни расположены в полуплоскости налево от мнимой оси.

Рис. 11.

Рис. 12.

Один критерий для решения этой задачи легко получить из соображений, сходных с принципом аргумента.

Будем предполагать, что

Пусть точка z (рис. 11) проходит мнимую ось сверху вниз, т. е. пусть причем у изменяется от сю до оставаясь действительным. Тогда зачертит некоторую кривую линию, имеющую бесконечные ветви. Для исследования технически удобнее тесно связанная с ней кривая, зачерчиваемая функцией

где

Так как и, следовательно, приращения аргументов одинаковы.

Подсчитаем приращение аргумента точки пока z проходит сверху вниз мнимую ось.

Пусть Тогда Геометрически очевидно, что приращение равно те, если z лежит в правой полуплоскости, и равно , если z лежит в левой полуплоскости (рис. 11).

Поэтому приращение аргумента равно те где число корней в правой полуплоскости, число корней в левой полуплоскости. Для того чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента точки равнялось т. е. чтобы точка совершила полуоборотов по часовой стрелке вокруг начала координат (рис. 12).

Заметим, что точка пересекает мнимую ось при значениях у, являющихся корнями а действительную ось — при корнях (у). Так как имеет не более действительных корней а число действительных корней не более легко убедиться Геометрически, что может совершить полных полуоборотов часовой стрелке в том и только в том случае, если кривая идет : четвертого квадранта и затем пересекает по очереди отрицательную часть, мнимой оси, отрицательную часть действительной оси, положительную часть мнимой положительную часть действительной оси и т. так, что общее число точек пересечения с мнимой осью равно одной на каждый полуоборот), а с действительной осью равно — (на единицу меньше полуоборотов). Поэтому коэффициент должен быть положительным, а корни многочленов должны быть Все действительными и все перемежающимися. Последнее означает, что если — корни расположенные в порядке убывания. — корни , то

Итак, для того чтобы все корни многочлена с действительными коэффициентами и с лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент был положительным и корни многочленов — были все действительными и перемежались

Это условие равносильно известному условию Гурвица, заключающемуся в положительности определителей

в которых все с номерами, мейыпими нуля и большими должнк быть заменены нулями (что такое определители, см. в главе XVI том 3, § 3