§ 3. ПРЕДЕЛ

В § 1 было сказано, что современный математический анализ оперирует специальным методом, который вырабатывался на протяжении многих веков и который служит в анализе основным средством рассуждения. Речь здесь идет о методе бесконечно малых, или, что в сущности все равно, о методе пределов. Постараемся дать представление об этих понятиях. Для этого рассмотрим следующий пример.

Рис. 8.

Требуется вычислить площадь, ограниченную параболой, уравнение которой осью и прямой (рис. 8). Элементарная математика не дает нам средств для решения этой задачи. Но вот как можно здесь поступить.

Разделим отрезок [0, 1] оси на равных частей точками

и построим на каждой из этих частей прямоугольник, левый верхний угол которого достигает параболы. В результате получим систему заштрихованных на рис. 8 прямоугольников, сумма площадей которых равна

Представим величину в следующем виде:

Величина зависящая от хотя и имеет довольно громоздкий вид, но обладает замечательным свойством: если неограниченно увеличивать, то будет стремиться к нулю. Это свойство можно выразить еще так: если задать произвольное положительное число то можно подобрать настолько большое значение что для всех больших, чем число будет по абсолютной величине меньше заданного е.

Величина есть пример бесконечно малой величины в том смысле, как этот термин понимается в современной математике.

Из рис. 8 мы видим, что если увеличивать число неограниченно, то сумма площадей заштрихованных прямоугольников будет стремиться к искомой площади криволинейной фигуры. С другой стороны, равенство (7) в силу того, что стремится при неограниченном возрастании к нулю, показывает, что сумма при этом стремится к 1/3. Отсюда следует, что искомая площадь S фигуры равна и мы нашу задачу решили.

Изложенный метод, таким образом, свелся к тому, что для нахождения некоторой величины S мы ввели другую, стремящуюся к ней переменную величину пробегающую отдельные частные значения зависящие по некоторому закону от натуральных чисел Затем после того, как было замечено, что переменная может быть представлена в виде суммы постоянного числа 1/3 и бесконечно малой мы заключили, что стремится к 1/3, и, таким образом, На языке современной теории пределов в данном случае можно сказать, что переменная величина при неограниченном возрастании стремится к пределу, равному

Дадим точное определение введенных понятий.

Если переменная величина обладает тем свойством, что для всякого, сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такое достаточно большое что для всех будет выполняться

неравенство то говорят, что есть бесконечно малая величина, и пишут

С другой стороны, если какую-либо переменную можно представить в виде суммы

где а — некоторое постоянное число, а — бесконечно малая, то говорят, что переменная при неограниченном возрастании стремится к числу а, и пишут

Число а называют пределом . В частности, предел бесконечно малой величины есть, очевидно, нуль.

Рассмотрим примеры переменных величин

Очевидно, являются бесконечно малыми, причем первая из них стремится к нулю убывая; вторая стремится к нулю возрастая, принимая все время отрицательные значения, а стремится к нулю, колеблясь около него. Далее не имеет вообще предела, так как с ростом не приближается ни к какому постоянному числу, а все время колеблется, принимая значения то 1, то —1.

В анализе важное значение имеет также понятие бесконечно большой величины, которая определяется как переменная величина обладающая тем свойством, что для всякого сколь угодно большого положительного числа М можно указать такое что для всех

Тот факт, что величина есть бесконечно большая, записывают так:

Про такую величину говорят, что она стремится к бесконечности. Если при этом она, начиная с некоторого значения, положительна (отрицательна), то это записывают так: Например, при

Легко видеть, что если величина есть бесконечно большая, то есть бесконечно малая, и наоборот.

Две переменные величины можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга и получать новые, вообще говоря, переменные, величины: сумму разность произведение . Их частными значениями будут соответственно

Можно также доказать сам по себе довольно очевидный факт, что если переменные стремятся к конечным пределам, то их сумма, разность, произведение и частное также стремятся к пределам, равным соответственно сумме, разности, произведению и частному этих пределов. Это можно записать так:

Только в случае частного надо предполагать, что предел знаменателя не равен нулю. Если то отношение стремится уже не к конечному пределу, а к бесконечности.

Весьма интересный и в то же время важный случай будет иметь место, если и числитель и знаменатель стремятся одновременно к нулю.

В этом случае нельзя заранее сказать, будет ли отношение стремиться к пределу, и если будет, то к какому, поскольку ответ на этот вопрос всецело зависит от характера стремления к нулю. Например, если

то

С другой стороны, величина

очевидно, не стремится ни к какому пределу.

Таким образом, случай, когда числитель и знаменатель дроби оба стремятся к нулю, не может быть предусмотрен заранее общими теоремами, и для каждой отдельной дроби такого рода требуется проводить специальное исследование.

В дальнейшем мы увидим, что основная задача дифференциального исчисления, которую можно рассматривать как задачу нахождения скорости неравномерного движения в данный момент, сводится к определению предела отношения двух бесконечно малых величин — приращения пути к приращению времени.

Выше мы рассматривали переменные принимающие последовательность числовых значений в то время как значок неограниченно пробегает ряд натуральных чисел Но можно было бы считать, что изменяется непрерывно, как время, и при этом условии определить по аналогии предел переменной . Свойства таких пределов совершенно аналогичны свойствам, сформулированным выше для дискретных (т. е. не непрерывных) переменных. Заметим еще, что здесь не имеет никакого значения то обстоятельство, что неограниченно возрастает. С тем же эффектом можно считать, что непрерывно изменяясь, приближается к некоторому заданному значению

В качестве примера проследим за изменением величины когда х приближается к нулю. Вот значения этой величины при нескольких значениях х:

(значения х предполагаются выраженными в радианной мере).

Повидимому, с приближением х к нулю величина стремится к 1, но это, конечно, еще надо строго доказать. Доказательство можно получить, например, исходя из следующего неравенства, справедливого для всех отличных от нуля углов первой четверти:

Разделив все части неравенства на получим

откуда следует

Но так как с уменьшением х до нуля стремится к 1, то и величина заключенная между и 1, стремится к 1, т. е.

Мы будем иметь случай использовать это обстоятельство.

Наше равенство, доказано для случая, когда х стремится к нулю, оставаясь положительным. Видоизменяя очевидным образом доказательство, можно его получить и для случая, когда х стремится к нулю, принимая отрицательные значения.

Теперь остановимся еще на одном вопросе. Переменная величина может иметь и не иметь предела. Возникает вопрос, нельзя ли дать критерий, при помощи которого можно установить существование предела у переменной. Остановимся на одном важном и достаточно общем случае, когда такой критерий может быть дан. Представим себе, что переменная величина возрастает или по крайней мере не убывает, т. е. выполняются неравенства

и пусть, кроме того, мы обнаружили, что все значения ее не превышают одного и того же числа М, т. е. Если значения и число М отметить на оси то получится, что переменная точка движется по оси вправо, оставаясь, однако, все время левее точки М. Довольно очевидно, что переменная точка должна обязательно стремиться к некоторой предельной точке а, которая находится либо левее М, либо, в крайнем случае, совпадает с М.

Таким образом, в рассматриваемом случае существует предел

нашей переменной.

Приведенное рассуждение носит наглядный характер, однако не может рассматриваться как доказательство. В современных курсах математического анализа дается полное обоснование этого факта на основе теории действительного числа.

В качестве примера рассмотрим переменную

Первые ее значения как мы видим, возрастают.. Можно, разлагая наше выражение по биному Ньютона, показать, что возрастание имеет место при любом значении Больше того, можно легко показать, что для всех справедливо неравенство . В таком случае наша переменная обязательно имеет предел, не превышающий числа 3. Как мы увидим дальше, этот предел играет очень большую роль в математическом анализе, являясь в известном; смысле наиболее естественным основанием для логарифмов чисел.

Этот предел принято обозначать буквой е. Он равен

Более детальные исследования показывают, что число не является рациональным.

Можно также показать, что рассматриваемый предел существует и равен не только когда но и когда При этом в обоих случаях может пробегать не только целые числа.

Мы еще остановимся на одной важной роли понятия предела в естествознании. Она заключается в том замечательном факте, что только при помощи понятия предела (предельного перехода) нам удается давать полное исчерпывающее определение многих встречающихся в естествознании конкретных величин.

Рассмотрим пока следующий геометрический пример. В курсе школьной геометрии сначала изучаются фигуры, ограниченные прямолинейными отрезками. Затем встает более трудная задача о нахождении длины окружности данного радиуса.

Если проанализировать трудности, стоящие в связи, с решением этой задачи, то они сводятся к следующему.

Надо отдать себе отчет в том, что такое длина окружности, т. е. дать точное ее определение. Существенно, чтобы определение сводилось к длинам прямолинейных отрезков, а также чтобы оно давало возможность эффективно вычислить длину окружности.

Само собой разумеется, что результат вычисления должен согласовываться с практикой. Если бы мы, например, взяли окружность, сделанную из реальной нити, то, разрезав ее и вытянув, мы должны были бы получить отрезок, длина которого в пределах точности измерений должна совпадать с вычисленной.

Как известно из школьного курса, решение этой задачи сводится к следующему определению. Длиной окружности называется предел, к которому стремится периметр вписанного в нее правильного многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон. Таким образом, решение поставленной задачи существенно базируется на понятии предела.

Подобным образом определяется длина произвольной гладкой кривой. В ближайших параграфах мы узнаем ряд примеров геометрических

и физических величин, точное определение которых может быть дано лишь благодаря применению понятия предела.

Понятия предела и бесконечно малой окончательно сформировались в начале прошлого века. Их определения, приведенные выше, связаны именем Коши, до которого в математике оперировали с менее четкими понятиями. Современное представление о пределе, о бесконечно малой как переменной величине, о действительных числах явилось результатом развития математического анализа, средством оформления и закрепления его успехов.