§ 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В математике принято произвольную первообразную функцию для заданной функции называть неопределенным интегралом от и обозначать его в виде

Таким образом, если есть некоторая вполне определенная первообразная для то неопределенный интеграл от равен

где С — произвольная постоянная.

Отметим еще, что если функция дана на отрезке первообразная и х — точка отрезка то на основании формулы Ньютона — Лейбница можно написать

Таким образом интеграл, стоящий в правой части этого равенства, только на постоянную отличается от функции первообразной для . В таком случае этот интеграл, если его рассматривать как функцию верхнего предела х (при переменном есть некоторая вполне определенная первообразная для и, следовательно, неопределенный интеграл от можно записать еще в следующем виде:

где С — произвольная постоянная.

Приведем основную таблицу неопределенных интегралов, составленную непосредственно из соответствующей таблицы производных (см. § 6):

Общие свойства неопределенных интегралов также выводятся на основании соответствующих свойств производных. Например, из правила дифференцирования суммы получаем формулу

а из соответствующего правила, выражающего, что постоянный множитель к можно выносить за знак производной, получим

Таким образом,

Существует ряд методов вычисления неопределенных интегралов. Остановимся на одном из них, а именно на методе подстановки или замены переменной, который основан на справедливости следующего равенства:

— дифференцируемая функция. Соотношение (33) надо понимать в том смысле, что если и функции

равной левой части равенства (33), положить то получим такую функцию производная от которой по равна выражению, стоящему под знаком интеграла в правой части равенства (33). Это непосредственно следует из теоремы о производной функции от функции.

Приведем несколько примеров на применение метода подстановки

(подстановка откуда к

подстановка откуда

(подстановка

Как видно из примеров, метод замены переменных значительно расширяет класс тех элементарных функций, которые мы теперь можем проинтегрировать, т. е. получить для них первообразные, являющиеся снова элементарными функциями. Однако надо иметь в виду, что с вычислительной точки зрения с интегрированием обстоит дело, вообще говоря, гораздо хуже, чем с дифференцированием.

Из § 6 известно, что производная от любой элементарной функции есть снова элементарная функция, которую можно получить совершенно эффективно, воспользовавшись правилами дифференцирования. Но обратное утверждение, вообще говоря, неверно, так как существуют такие элементарные функции, неопределенные интегралы от которых не являются в свою очередь элементарными функциями. Например, такими функциями являются и др. Для получения интегралов от них приходится пользоваться приближенными методами, а также вводить в обиход новые функции, не сводимые к элементарным. Мы не имеем возможности задерживаться на этом вопросе, заметим только, что уже в элементарной математике можно найти много примеров, когда прямая операция выполнима в некотором классе чисел, в то время как обратная ей операция в этом же классе не выполняется; так, квадрат любого положительного рационального числа есть снова рациональное число, но корень квадратный из рационального числа далеко не всегда является таким. Аналогично дифференцирование элементарных функций дает функцию вновь элементарную, а интегрирование может вывести нас из этого класса функций.

Некоторые интегралы, не вычисляемые в элементарных фуйкцияк, имеют большое значение в математике и ее приложениях Таким, например, является интеграл

который играет очень важную роль в теории вероятностей (см. главу XI, том 2). Укажем еще на интегралы

носящие название эллиптических интегралов соответственно первого и второго рода. К вычислению их сводится очень большое число задач механики и физики (см. главу V (том 2), § 1, пример 3). Составлены подробные таблицы значений этих интегралов для различных значений аргументов вычисленные приближенными методами, но с большой точностью.

Надо подчеркнуть, что доказательство самого факта, что та или иная элементарная функция не интегрируется в элементарных же функциях, в каждом отдельном случае представляет большие трудности. Эти вопросы, исследование которых сыграло важную роль в развитии анализа, занимали умы выдающихся математиков-аналитиков прошлого века. Фундаментальные результаты принадлежат здесь Чебышеву, который, в частности, полностью исследовал вопрос о возможности интегрирования в элементарных функциях интеграла вида

где — рациональные числа. До Чебышева были известны полученные еще Ньютоном три соотношения между показателями , которые влекут за собой интегрируемость в элементарных функциях этого интеграла. П. Л. Чебышев показал, что во всех остальных случаях этот интеграл в элементарных функциях не выражается.

Приведем еще один метод интегрирования — метод интегрирования по частям. Он основан на известной читателю формуле

производной от произведения функций и и Ее можно записать еще так:

Теперь проинтегрируем левую и правую части и примем во внимание, что

тогда окончательно получим равенство

которое и называется формулой интегрирования по частям. (Постоянную С мы не написали, так как можно считать, что она включена в один из входящих в равенства неопределенных интегралов.)

Приведем примеры применения этой формулы. Требуется вычислить . В нем будем считать тогда и, следовательно:

В интеграле удобно считать тогда

Еще характерный пример, где приходится интегрировать по частям два раза, а затем искомый интеграл находить из полученного уравнения

откуда

Этим мы заканчиваем параграф, из которого читатель получил лишь поверхностное представление о теории интегрирования. На многих методах этой теории мы не остановились. В частности, мы не коснулись здесь очень интересной теории интегрирования рациональных дробей — теории, в которую внес важный вклад известный математик и механик прошлого века М. В. Остроградский.