Работы Лагранжа.

Знаменитый французский математик Лагранж в большой работе (имеющей более 200 страниц), появившейся в «Размышления о решении алгебраических уравнений» рассмотрел критически все известные до него способы решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и показал, что успех их решения был основан всегда на обстоятельствах, которые для уравнений 5-й и высших степеней уже не имеют места. Со времени Ферро до этой работы Лагранжа прошло более двух с половиной столетий, и никто за этот длинный промежуток времени не сомневался в возможности решить уравнения 5-й и высших степеней в радикалах, т. е. в возможности найти формулы, содержащие только действия сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней с целыми положительными показателями, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, — формулы, подобные тем, при помощи которых в древности было решено квадратное уравнение и в 1500-х годах были решены итальянцами уравнения 3-й и 4-й степени. Считалось только, что никак не удается найти верный и, повидимому, глубоко скрытый путь к этому решению.

Лагранж в своем мемуаре (стр. 305, т. 3 Полного собрания сочинений) говорит: «Задача решения (в радикалах) уравнений, степени которых выше четырех, одна из тех, которую не удается решить, хотя ничто и не доказывает невозможности такого решения», а на стр. 307 он добавляет: «Из наших рассуждений следует, что весьма сомнительно, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полное решение уравнений пятой степени».

В своих исследованиях Лагранж ввёл в рассмотрение выражения

от корней уравнения, где — какой-нибудь корень степени из единицы, установив, что именно такие выражения тесно связаны с решением уравнений в радикалах. Выражения эти сейчас называются «резольвентами Лагранжа».

Кроме того, Лагранж заметил, что большое значение в теории решения уравнения в радикалах имеет теория перестановок корней уравнения. Он даже высказал мысль, что теория перестановок является «истинной

философией всего вопроса», в чем он был вполне прав, как это показали позднейшие исследования Галуа.

Теперь у Лагранжа выводы решений уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени получились не такие, как у итальянцев, — в каждом случае по-своему и из каких-то сложных и как бы случайно найденных преобразований, а вполне стройные и выведенные из одной общей идеи при помощи единообразного метода теории симметрических многочленов, теории подстановок и теории резольвент.

Рассмотрим, для примера, решение способом Лагранжа общего уравнения 4-й степени

Пусть корни этого уравнения Рассмотрим резольвенту

т. е.

где Переставляя в ней всеми различными способами, мы получаем всего шесть различных выражений:

Уравнение 6-й степени, корнями которого являются эти шесть выражений, будет, следовательно, иметь коэффициенты, которые не изменяются от всех 24 перестановок так как любая из 24 перестановок может только переставить эти выражения друг с другом, а коэффициенты рассматриваемого уравнения 6-й степени не зависят от порядка, в котором мы берем его корни. Таким образом, эти коэффициенты — симметрические многочлены от Но тогда, в силу основной теоремы о симметрических многочленах, коэффициенты эти выражаются целорационально через коэффициенты , уравнения. Кроме того, так как выражения (5) — попарно обратных знаков, то это уравнение 6-й степени будет содержать только члены четных степеней. Действительно, если выражения (5) обозначить через то левая часть рассматриваемого уравнения 6-й степени будет равна

Непосредственное вычисление дает уравнение 6-й степени

Полагая получаем кубическое уравнение для и если Г, — его корни, то

Кроме того, мы еще имеем

Складывая эти уравнения после предварительного умножения их на 1, 1, 1, 1 или или или мы получаем

Таким образом, решение уравнения 4-й степени сведено к решению кубического уравнения. Аналогично решаются и уравнения 3-й и 2-й степени.

Лагранж в теории алгебраического уравнения достиг многого. Однако даже и после его упорных усилий вопрос о решении в радикалах алгебраических уравнений, степень которых выше четверто остался открытым. Этот вопрос, над которым бесплодно работали почти три столетия, как выразился Лагранж, «был как бы вызовом человеческому уму».