Проективная плоскость.

Совокупность всех прямых и плоскостей пространства, проходящих через заданную точку пространства называется проектирующей связкой прямых и плоскостей с центром Если связку пересечь плоскостью Р, не проходящей через ее центр, то всякой точке плоскости Р будет соответствовать прямая связки, которая пересекает в этой точке плоскость Р, а всякой прямой плоскости Р — та плоскость связки, которая пересекает плоскость Р по этой прямой. Однако так не устанавливается взаимно однозначное отображение совокупностей прямых и плоскостей связки на совокупности точек и прямых плоскости Р. Дело в том, что прямым и плоскости связки, которые параллельны плоскости Р, в этом смысле но соответствует никаких точек и никакой прямой плоскости Р, так как они ее не пересекают. Уславливаются всё же говорить, что эти прямые связки пересекают плоскость Р, но в несобственных (или бесконечно удаленных) ее точках, лежащих в таких-то направлениях, и чтор эта плоскость связки пересекает плоскость Р, но по несобственной (или бесконечно удаленной) ее прямой. Плоскость Р, дополненная этими несобственными точками и несобственной прямой, называется дополненной или проективной плоскостью. Мы будем ее обозначать Р. Совокупности

прямых и плоскостей связки S уже взаимно однозначно отображаются на совокупности точек (собственных и несобственных) и прямых (собственных и несобственных) этой проективной плоскости Р.

Кроме того, уславливаются говорить, что точка (собственная или несобственная) лежит на прямой (собственной или несобственной) проективной плоскости Р, если соответственная прямая связки лежит в соответственной плоскости связки. С этой точки зрения любые две прямые проективной плоскости пересекаются (в собственной или несобственной точке), так как любые две плоскости связки пересекаются по некоторой прямой связки. Отсюда следует, между прочим, что несобственная прямая есть не что иное, как совокупность всех несобственных точек.

По сути дела, дополнение плоскости ее несобственными элементами сводится к тому, чтобы при помощи этой плоскости как сечения изучать связку всех прямых и плоскостей, проходящих через одну точку.