Параболоиды.
Остаются еще уравнения 7) и 8). Первое из них, 
сравниваем с уравнение
которое исследуем аналогично рассмотренному в предыдущем пункте и убеждаемся, что оно выражает собою поверхность, получаемую от вращения параболы 
вокруг оси 
— так называемый параболоид вращения (рис. 58), о котором мы уже говорили, когда рассматривали параболические зеркала.
Рис. 58.
Рис. 59.
Общий эллиптический параболоид 7) получается из параболоида вращения растяжением от плоскости 
Поверхность 8) приходится исследовать иначе, именно: исследуя ее сечения плоскостями 
которые суть гиперболы. Карта поверхности 8) в горизонталях изображена на рис. 50; при другом положении координатных осей мы рассматривали эту поверхность на рис. 51. Эта поверхность седлообразная. Она имеет вид, изображенный на рис. 59, и называется гиперболическим параболоидом. Сечения ее плоскостями, параллельными плоскости 
оказываются] одинаковыми параболами. То же самое дают сечения плоскостями, параллельными плоскости 
Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Весьма любопытно, но совершенно не очевидно, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, подобно конической или цилиндрической поверхности, могут быть получены движением прямой линии. В случае
гиперболоида, достаточно это доказать для однополостного гиперболоида вращения 
так как общий однонолостный гиперболоид получается из него равномерным растяжением от плоскости 
а при таком растяжении любая прямая снова переходит в прямую.
Рис. 60.
Рис. 61.
Рис. 6?
Пересечен гиперболоид вращения плоскостью 
параллельной плоскости 
Подставляя 
получим
Но это уравнение вместе с 
дает в плоскости 
пару пересекающихся прямых 
Итак, мы уже обнаружили, что на гиперболоиде лежит пара пересекающихся прямых. Если теперь вращать гиперболоид вокруг оси 
каждая из этих прямых, очевидно, зачертит весь гиперболоид (рис. 60.
Легко доказать, что: 1) любые две прямые одного и того же из получающихся семейств не лежат в одной плоскости (т. е., как говорят, скрещиваются), 2) любая прямая одного из этих семейств пересекает все прямые другого (кроме ей противоположной, которая ей параллельна) 
три прямые одного и того же семейства не параллельны никакое одной и той же плоскости
При помощи двух спичек и иголки легко получить представление о однополостном гиперболоиде вращения. Если проколоть иголкой одну спичку в ее середине насквозь и на выступающее острие иголки наколото серединой другую спичку в параллельном к первой спичке положении то при вращении вокруг первой спички, как вокруг оси, вторая спичка будет описывать поверхность цилиндра (рис. 61). Если же вторую спичке наколоть перпендикулярно иголке, но не параллельно первой спичке то она при таком вращении будет описывать поверхность однополостного
гиперболоида вращения, которую при быстром вращении хорошо видно (рис. 62).
Итог исследования уравнения 2-й степени. Хотя общее уравнение 2-й степени с тремя переменными может выражать 17 существенно различных поверхностей, запомнить их нетрудно. Девять последних из них суть цилиндры над девятью возможными линиями 2-го порядка. Восемь же первых разбиваются на четыре пары: два эллипсоида (действительный и мнимый), два гиперболоида (однонолостный и двуполостный), два конуса 2-го порядка (действительный и мнимый) и два параболоида (эллипти-ческий и гиперболический). Все эти поверхности играют существенную роль в механике, физике и технике. (Эллипсоид инерции, эллипсоид упругости, гиперболоид в преобразовании Лоренца в физике, параболоид вращения для параболических зеркал и т. д.).
