Частные производные и дифференциал.

Сделаем несколько замечаний о дифференцировании функций нескольких переменных. Возьмем для примера какую-либо функцию

от двух переменных. Если зафиксировать значение у, т. е. считать его неизменяющимся, то наша функция от двух переменных превратится в функцию одной переменной Производная от нее, если она существует, называется частной производной по х и обозначается так:

Последнее обозначение подчеркивает, что частная производная по х есть, вообще говоря, функция от х и у. Подобным образом определяется и частная производная по у.

Рис. 28.

Геометрически наша функция в прямоугольной пространственной системе координат изображается поверхностью. Соответствующая функция от х при фиксированном у изображается плоской линией (рис. 28), полученной при сечении поверхности плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от этой последней на расстояние у. Частная производная равна, очевидно, тангенсу угла, образуемого касательной в точке к этой линии с положительным направлением оси

Вообще, если задана функция от переменных частной производной — называется производная от нее по вычисленная при зафиксированных значениях прочих переменных:

Можно сказать, что частная производная от функции по переменной есть скорость изменения этой функции в направлении изменения . Можно было бы определить производную по произвольно заданному направлению, не обязательно совпадающему с той или иной осью координат, но мы на этом останавливаться не будем.

Примеры.

Иногда бывает необходимо от частных производных брать в свою очередь частные производные — это так называемые частные производные второго порядка. Для функции двух переменных их четыре

Впрочем, в случае непрерывности этих производных вторая и третья из написанных (так называемые смешанные производные), как можно доказать, совпадают:

Например, в случае первой рассмотренной выше функции

совпадение смешанных производных, как видит читатель, имеет место.

Для функций многих переменных, подобно тому как это было сделано для одной переменной, можно ввести понятие дифференциала. Возьмем для определенности функцию

от двух переменных. Если она имеет непрерывные частные производные, то можно доказать, что ее приращение

соответствующее приращениям и аргументов, можно представить в виде

где — частные производные от функции в точке а величина а зависит от и притом так, что когда

Сумма первых двух слагаемых

линейно зависит от и называется дифференциалом функции.

Последнее слагаемое, благодаря наличию в нем множителя а, стремящегося к нулю вместе с есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к величине

характеризующей общее изменение х и у.

Вот пример применения понятия дифференциала. Период колебания маятника вычисляется по формуле

где I — его длина, ускорение силы тяжести. Предположим, что I и нам известны с погрешностями, соответственно равными Тогда погрешность, с которой мы вычислим Т, будет равна приращению соответствующему приращениям аргументов Заменяя приближенно на будем иметь.

Нам не известны знаки однако можно заведомо оценить неравенством

из которого после деления на Т получим

Итак, можно практически считать, что относительная ошибка для Т равна сумме относительных ошибок для

В целях симметрии обозначений, приращения независимых переменных принято обозначать символами и также называть их дифференциалами. При таком обозначении дифференциал функции запишется так:

Частные производные играют большую роль всякий раз, когда приходится иметь дело с функциями многих переменных (а это бывает в огромном количестве приложений анализа к задачам техники и физики). С проблемой восстановления функции по свойствам ее частных производных мы еще встретимся в главе VI (том 2).

Ниже мы дадим простейшие примеры применения частных производных в анализе.