Формулы преобразования координат.

Для получения указанного важного результата о возможных типах линий 2-го порядка надо сначала вывести формулы, по которым изменяются прямоугольные координаты точек при изменении координатной системы.

Пусть х, у — координаты некоторой точки М относительно осей Перенесем эти оси параллельно самим себе в положение и пусть координаты нового начала О относительно старых осей суть 6 и Очевидно (рис. 37), что координаты точки М относительно новых осей связаны с ее координатами х, у относительно старых осей формулами

— это так называемые формулы параллельного переноса осей. Если мы исходные оси повернем вокруг начала против часовой стрелки на угол , то, как легко вывести (рис. 38), проектируя ломаную составленную новыми координатными отрезками на ось и на ось

получим

— это формулы преобразования координат при повороте прямоугольной системы координат.

Если задано уравнение какой-нибудь линии относительно осей и надо записать преобразованное уравнение этой же линий, т. е. уравнение этой же линии, но относительно новых осей то достаточно подставить в уравнение вместо их выражения через даваемые формулами преобразования. Так, например, при параллельном переносе осей получаем преобразованное уравнение а при повороте осей — уравнение

Заметим, что при преобразовании к новым осям степень уравнения не изменяется. Действительно, степень не может повыситься, так как формулы преобразования 1-й степени. Но степень не может и понизиться, так как тогда обратное преобразование координат должно было бы его повысить (а оно тоже 1-й степени).