§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ

Следующим важным этапом развития аналитической геометрии было введение в нее, и вообще в геометрию, теории преобразований. Тут придется подробно пояснить в чем дело.

Рис. 63.

«Сжатие», плоскости к прямой.

Рассмотрим одно из самых простых преобразований плоскости — равномерное «сжатие» к прямой с коэффициентом к. Пусть на плоскости дана прямая а и дан положительный коэффициент к, например к Оставим все точки прямой а на месте, а всякую точку М, не лежащую на этой прямой, заменим точкой М, такой, что М лежит по ту же сторону от прямой а, где и точка М, на том же перпендикуляре к а, на котором лежит точка но так, что расстояние от точки М до прямой а равно расстояния до нее от точки М. Если коэффициент к, как здесь, меньше единицы, то происходит собственно сжатие плоскости к прямой; если же к больше единицы, то происходит растяжение плоскости от прямой, но для удобства мы будем и в том и в другом случае говорить о «сжатии», только слово «сжатие» будем ставить в кавычки.

Преобразуемая точка или фигура называется прообразом, а та, в которую она перешла, — ее образом. Точка например, есть образ точки М (рис. 63).

Покажем, что при равномерном «сжатии» плоскости к прямой всякая прямая плоскости преобразуется в прямую. Действительно, пусть плоскость «сжимается к лежащей на ней прямой и с коэффициентом сжатиям к. Пусть — какая угодно прямая плоскости, О — точка, в которой она

пересекает прямую а, В — произвольная другая ее точка, а перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую а (рис. 64). После «сжатия» точка В перейдет в некоторую точку В на этом перпендикуляре, такую, что

Рис. 64.

Рис. 65.

Поэтому тангенс угла будет равен т. е. будет равен к раз взятому тангенсу угла, образуемого прямой с прямой а, т. е. для всех точек В, в которые перейдут разные точки прямой он будет один и тот же. Все точки В лежат, следовательно, на одной и той же прямой, проходящей через точку О и образующей с прямой а угол с таким тангенсом.

При «сжатии» параллельные прямые остаются параллельными. Действительно, если тангенсы углов, которые образуют прямые и с с прямой а, одинаковы, то тангенсы тех углов, которые образуют с а их образы и с, отличаются от них только множителем к, т. е. между собою тоже одинаковы, т. е. прямые и с также между собою параллельны.

Всякий прямолинейный отрезок плоскости при «сжатии» плоскости к прямой сокращается (или удлиняется) равномерно (хотя и в разной степени для отрезков разных направлений). Говоря о «равномерном» сокращении, мы подразумеваем, что середина отрезка остается серединой, треть — третью и т. д., т. е. отрезок сжимается равномерно по всей своей длине. Действительно, в каком отношении точка М делит отрезок в таком же и ее образ М делит образ этого отрезка, так как параллельные прямые (у нас перпендикуляры к прямой а) разрезают секущие их прямые (в этом случае 6 и на пропорциональные части (рис. 65).