Проективные преобразования круга в себя.

Точку, исходящую из нее полупрямую и одну из полуплоскостей, отрезаемых этой прямой, мы будем называть «репером» плоскости П (не путать с координатным репером, § 11). Покажем (рис. 88), что если взять два любых репера точки которых суть внутренние точки круга а, то можно при помощи преобразований преобразовать первый из этих реперов во второй.

Рис. 88.

Рис. 89.

Для этого достаточно сделать преобразования (или преобразование Преобразование приведет первый репер М в центр О круга а, преобразование повернет его как нужно и, наконец, преобразование, совместит его со вторым репером М.

Покажем, кроме того, что такое преобразование А, которое переводит какой-нибудь данный редер М в заданный репер М, только одно. Для этого заметим сначала, что если бы было два разных преобразования переводящих репер М в репер М, то преобразование было бы не тождественным преобразованием Л и переводило бы репер М в себя. Достаточно поэтому показать, что если некоторое преобразование А переводит репер М в себя, то оно тождественное, т. е. оставляет все точки плоскости круга а на месте.

Докажем это. Пусть некоторое преобразование А переводит репер М в себя (рис. 89). Тогда оно переводит прямую этого репера в себя, но так как оно переводит в себя окружность круга а, то оно оставляет на месте точки А и В или меняет их местами. Последнее, однако, невозможно, так как оно переводит полупрямую репера в себя. Проведем в точках А и Б касательные к кругу а. Они переходят в себя, так как если бы такая касательная сделалась секущей А А, то обратное преобразование разные

точки А и А окружности а преобразовало бы в одну точку А, Но преобразования Л проективные и, следовательно, взаимно однозначные. Раз при преобразовании Л эти касательные переходят в себя, то точка их пересечения остается на месте, и, следовательно, прямая MN переходит в себя. Из того, что полуплоскость репера М переходит в себя, заключаем, как выше, что точки С и D не меняются местами, а остаются на месте. Итак, при рассматриваемом проективном преобразовании проективной плоскости П четыре ее точки А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой, остаются на месте. По теореме единственности проективных преобразований это преобразование, следовательно, тождественное.

Дальше, в § 5 главы XVII (том 3), будет показано, что, используя выведенные сейчас свойства группы Лоренца, легко реализовать планиметрию Лобачевского, а если рассмотреть преобразования Лоренца, для общего случая движения точки в пространстве, то и стереометрию Лобачевского, и тем самым показать непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Мы видим, что теория преобразований Лоренца, проективная геометрия и теория перспективы и неэвклидова геометрия тесно связаны друг с другом. Оказывается, что с ними также в большой мере связана теория так называемых конформных преобразований в теории функций комплексного переменного, решающей такие важные задачи математической физики, как задачу распределения температур в нагретой пластинке, задачу об обтекании воздухом крыла самолета, задачу теории плоского электростатического поля, плоскую задачу теории упругости и многие другие.