Эллипс инерции.

В качестве примера на применение эллипса в технической задаче рассмотрим так называемый эллипс инерции пластинки.

Пусть имеется некоторая пластинка равномерной толщины и из однородного материала, например цинковая пластинка какой-нибудь формы. Будем вращать ее вокруг какой-нибудь оси, лежащей в ее плоскости.

Рис. 16.

Рис. 17 а.

Рис. 17 б.

Тело, двигающееся прямолинейно, имеет, как известно, некоторую, инерцию по отношению к этому прямолинейному движению, пропорциональную его массе (независимо от формы тела и расположения его масс). Подобно этому и тело, вращающееся вокруг оси, например маховик, имеет инерцию по отношению к этому вращению. Однако в случае вращения инерция пропорциональна не только массе вращаемого тела, но зависит также от расположения масс этого тела по отношению к оси вращения, так как

инерция по отношению к вращению больше, если массы более удалены от оси. Например, совсем легко привести сразу в быстрое вращение палку вокруг ее продольной оси (рис. 17а). Если же попытаться сразу привести ее в быстрое вращение вокруг оси, перпендикулярной к ее длине, хотя бы и проходящей через ее середину, придется затратить, если эта палка не очень легкая, значительное усилие (рис. 176).

Рис. 18.

Рис. 19.

Можно показать, что инерция по отношению к вращению тела вокруг некоторой оси, так называемый «момент инерции» тела относительно этой оси, равен (Если под понимать сокращенную запись суммы и мыслить тело разбитым на весьма малые по своей величине элементы, причем — масса элемента, расстояние элемента от оси вращения и суммирование распространено на все элементы тела.)

Вернемся к нашей пластинке. Пусть О (рис. 18) — какая-нибудь точка этой пластинки. Рассмотрим моменты инерции этой пластинки по отношению к различным осям и, проходящим через точку О и лежащим в плоскости пластинки. Для этого, приняв точку О за начало прямоугольных координат, выберем любым образом оси в плоскости пластинки и будем ось вращения и характеризовать углом ее с осью . Легко видеть (рис. 19), что

Отсюда

Величины вынесены за знаки сумм, так как это — величины, постоянные для данной оси и. Обозначим теперь

Величины А, В и С не зависят от выбора оси и, а зависят только от формы пластинки и расположения ее масс и от раз навсегда сделанного выбора координатных осей Итак,

Рассмотрим все возможные оси и, проходящие в плоскости пластинки через точку О. Будем откладывать на каждой из осей от точки О величину , обратную корню квадратному из момента инерции пластинки относительно этой оси, т. е. Мы получим тогда

Но

и, следовательно, уравнение этого геометрического места имеет следующий вид:

Получается кривая 2-го порядка и притом, очевидно, конечная и замкнутая, т. е. некоторый эллипс (рис. 20), так как все остальные кривые 2-го порядка, как мы далее покажем, или бесконечные, или сводятся к одной точке.

Рис. 20.

Получился замечательный результат: какова бы ни была форма и величина пластинки и расположение ее масс, величины моментов инерции ее (собственно величины , обратно пропорциональные их квадратным корням) относительно различных осей, лежащих в плоскости пластинки и проходящих через заданную точку О пластинки, характеризуются некоторым эллипсом. Этот эллипс называется эллипсом инерции пластинки по отношению к точке О. Если точка О — центр тяжести пластинки, то этот эллипс называется ее центральным эллипсом инерции.

Эллипс инерции играет большую роль в механике, и особенно важное применение его имеет место в сопротивлении материалов. В сопротивлении материалов доказывается, что если мы имеем балку с каким-нибудь заданным сечением, то сопротивление ее изгибу будет пропорционально моменту инерции ее сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной к направлению изгибающей силы. Поясним это примером. Предположим, что мостик через ручей сделан из доски и доска прогибается под действием веса проходящего по ней пешехода. Если ту же доску (а не более толстую) положить «на ребро», она почти вовсе не прогнется, т. е. в положении «на ребро» доска, так сказать, прочнее. Это происходит от того, что у поперечного сечения

доски, которое имеет форму довольно вытянутого прямоугольника, момент инерции этого сечения (если мыслить сечение однородно покрытым массой) относительно оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его центр и перпендикулярной к его длинной стороне, больше, чем относительно оси, проходящей параллельно его длинной стороне.

Рис. 21.

Рис. 22.

Если бы класть доску не в точности плашмя или на ребро, а косо, и даже если брать не доску, а брусок с люблм сечением, например рельс, то все же сопротивление изгибу будет пропорционально моменту инерции этого сечения относительно соответственной оси, лежащей в его плоскости и проходящей через его центр тяжести. Жесткость при изгибе балки, таким образом, характеризуется эллипсом инерции ее сечения.

Так, для обычного прямоугольного бруса эллипс этот будет иметь вид, показанный на рис. 21. Жесткость такой балки при нагрузке в направлении оси пропорциональна

Стальные балки часто берутся -образного сечения; для такого рода балок сечение и эллипс инерции изображены на рис. 22. Наибольшей прочностью при изгибе они обладают в направлении При использовании их, например, для стропил крыши под нагрузкой снега и собственного веса они как раз и работают на изгиб в близком к этому наивыгоднейшему направлении.