ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналитическая геометрия является совершенно необходимым математическим методом для изучения других отделов математики, механики, физики и других естественных наук. Поэтому ее изучают не только в университетах, но и во всех технических высших учебных заведениях, а также в некоторых техникумах. Ставится вопрос о включении довольно подробного изложения элементов аналитической геометрии в курс средней школы.

Различные координаты. Существенными частями идеи аналитической геометрии, как мы видели, является метод координат и рассмотрение уравнений, связывающих эти координаты. Кроме декартовых координат, рассматриваются различные другие координаты. Например, на плоскости можно, выбрав некоторую точку Р (так называемый полюс) и некоторую исходящую из нее полупрямую (полярная ось), определять положение точки М длиной полярного радиуса, идущего к ней из полюса, и величиной «того угла, который этот радиус образует с полярной осью (рис. 90).

В частности, эллипс, гипербола или парабола, если за полюс взять фокус, а за полярную ось — полупрямую, идущую из него по оси симметрии

в сторону, противоположную ближайшей вершине (рис. 91), имеют одно и то же уравнение

где — эксцентриситет линии, — так называемый ее параметр. Это уравнение имеет большое значение в астрономии.

Рис. 90.

Рис. 91.

Именно при помощи его исследования выводится из закона инерции и закона всемирного тяготения, что планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам.

Общеизвестны географические координаты — долгота и широта, которыми задается положение точки на сфере.

Аналогично можно ввести координатную сетку на любой поверхности, как это делают в дифференциальной геометрии (см. главу VII, том 2) и т. д.

Многомерная и бесконечномерная аналитическая геометрия. Алгебраическая геометрия.

Казалось бы, что аналитическая геометрия к XIX в. прошла такой большой путь развития, описанный нами выше в самых общих чертах, и дала столько идей, что она должна была бы себя исчерпать, однако это не так. Как раз в настоящее время бурно развиваются две новые, весьма обширные ветви математики, продолжающие идеи аналитической геометрии, — так называемый функциональный анализ и общая алгебраическая геометрия. Правда, обе они только наполовину представляют собою прямое продолжение классической аналитической геометрии: в функциональном анализе много анализа, в алгебраической геометрии не мало теории функций и топологии.

Объясним, о чем идет речь. Еще в середине прошлого столетия начали рассматривать четырехмерную и вообще -мерную аналитическую геометрию, т. е. стали изучать те вопросы алгебры, которые являются прямым обобщением алгебраических вопросов, изучаемых в двух- и трехмерной аналитической геометрии, но для случая, когда имеется 4 или неизвестных. В самом конце XIX в. ряд выдающихся аналистов пришел к мысли, что для целей анализа и математической физики важно рассмотреть бесконечномерную аналитическую геометрию.

С первого взгляда может показаться, что если -мерное и даже четырехмерное пространство кажутся какими-то надуманными математическими фикциями, то что же тогда говорить о бесконечномерном. Однако

это не так. Рассуждения, касающиеся бесконечномерного пространства, вовсе не так трудны. Они составляют сейчас большую ветвь математики — функциональный анализ (см. главу XIX, том 3). В этом разделе математики одни из самых важных результатов даны в последнее время советскими учеными.

Любопытно, что бесконечномерная аналитическая геометрия имеет важнейшие практические приложения и играет фундаментальную роль в современной физике.

Что касается алгебраической геометрии, то это — более непосредственное продолжение обычной аналитической геометрии, которая сама в свою очередь есть лишь часть алгебраической геометрии. Алгебраическая геометрия может рассматриваться как та часть математики, которая занимается линиями, поверхностями и гиперповерхностями, выражаемыми в декартовых координатах алгебраическими уравнениями не только 1-й и 2-й степени, но и высших степеней.

Рис. 92.

Оказалось, что в этих исследованиях выгодно рассматривать не только действительные, но и комплексные координаты, т. е. рассматривать всё в так называемом комплексном пространстве.

Наиболее важные результаты в этой области были получены еще в прошлом столетии Риманом. Как на блестящий пример теоремы о линиях высших порядков, укажем на замечательный своею общностью результат И. Г. Петровского о числе овалов, на которые может разбиваться линия порядка. И. Г. Петровский показал, что если — число таких овалов, которые вовсе не лежат в других овалах либо лежат в четном числе овалов, а - число тех овалов, которые лежат в нечетном числе овалов, и если рассматривать такие линии, в которых составляющие ее овалы ни сами себя, ни друг друга не пересекают (рис. 92), то

где — порядок линии, т. е. степень того уравнения, которым она выражается.

Приведенный результат тем более важен, что до сих пор почти ничего не было известно об общем виде линий высших порядков. Это, пожалуй, одна из последних важных общих теорем, найденных в аналитической геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)