Теория комплексных чисел.

Перед рассмотрением доказательств основной теоремы алгебры прежде всего надо напомнить изучаемую еще в средней школе теорию комплексных чисел. Впервые те трудности, которые привели к созданию теории комплексных чисел, встретились уже при решении квадратного уравнения. Что делать, если число стоящее под корнем квадратным в формуле решения квадратного уравнения, отрицательно? Нет никакого действительного числа, ни положительного, ни отрицательного, которое является корнем квадратным из отрицательного числа, так как квадрат любого действительного числа есть число положительное или нуль.

После долгих сомнений, длившихся более столетия, математики пришли к заключению, что надо ввести новый вид чисел, так называемые комплексные числа, со следующими правилами действий над ними.

Условно вводится число новой природы такое, что и рассматриваются числа вида , где а и — обыкновенные действительные числа. Числа называются комплексными. Два таких числа а считаются равными, если Суммой двух таких чисел считается число а разностью — число При умножении уславливаются множить эти числа как двучлены, но принимать во внимание, что т. е.

Если а и считать прямоугольными координатами точки, а точку эту сопоставлять комплексному числу а , то указанному сложению и вычитанию комплексных чисел, таким образом, соответствует сложение и вычитание векторов (направленных отрезков), идущих из начала к соответственным точкам с координатами , так как при сложении векторов как раз складываются соответственные их координаты

Рис. 1.

Какой геометрический смысл имеет на этой так называемой плоскости комплексных чисел вышеописанное умножение, проще всего видно, если рассматривать длину вектора, идущего из начала координат в точку (эту длину называют модулем комплексного числа и угол который этот вектор образует с осью (этот угол называют аргументом комплексного числа другими словами, если рассматривать не декартовы координаты х к у точки, соответствующей комплексному числу а ее так называемые полярные координаты (рис. 1). Тогда и, следовательно, самое комплексное число запишется так:

Если

то

откуда мы видим, что при умножении двух комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. При делении, так как оно есть действие, обратное умножению, наоборот, модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются

и

При возвышении в степень с целым положительным показателем следовательно, модуль возвышается в ту же степень, а аргумент умножается на

При извлечении корня обратно

Однако при извлечении корня имеет место еще одно специальное обстоятельство. Пусть целый положительный показатель. Тогда

равен числу

так как возвышение этого числа в степень дает подкоренное число.

Но это только одно значение корня. Дело в том, что комплексное число

где к — любое из чисел также будет корнем степени из числа

Действительно, по правилу возвышения в степень при возвышении такого числа в степень получается число

причем слагаемые под знаком косинуса и синуса можно здесь не писать, так как от этого ни косинус, ни синус не изменятся. Таким образом, степень этого числа тоже есть число

т. е. это число есть

Легко видеть, что никакое другое комплексное число, кроме этих чисел (для уже не есть корень степени из

Геометрически извлечение корня степени обозначает следующее.

Точки комплексной плоскости, соответствующие значениям У из числа лежат в вершинах правильного -уголышка, вписанного в окружность, описанную вокруг начала радиусом и так повернутого, что одна из вершин этого -угольника имеет аргумент — (рис. 2). Сделаем следующее замечание. Если

— многочлен от z с заданными действительными или комплексными коэффициентами и мы будем изменять z непрерывно, т. е. непрерывно передвигать точку по комплексной плоскости, тогда и комплексная

точка также будет передвигаться по комплексной плоскости непрерывно. Это ясно из того, что если подставить в значения и произвести все вычисления, то получится, что

где

— многочлены степени от х и у с действительными коэффициентами, выражающимися через все При непрерывном изменении х и у эти многочлены также будут изменяться непрерывно.

Заметим еще, что так как модуль то при непрерывном передвижении точки z по комплексной плоскости и модуль будет также изменяться непрерывно. Другими словами, если точка z достаточно близка к точке то разность но абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного числа.

Рис. 2.

Рис. 3.

Отметим еще, что модуль суммы нескольких комплексных чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел, что эквивалентно тому, что замыкающий прямолинейный отрезок (рис. 3) короче ломаной и равен ей тогда и только тогда, когда все её отрезки лежат на одной прямой и идут в одну сторону.

Напомним, наконец, что сказать «комплексное число равно нулю» или «его модуль равен нулю» — одно и то же, так как модуль комплексного числа есть расстояние соответствующей ему точки от точки нуль.

Мы сейчас применим теорию комплексных чисел к доказательству основной теоремы алгебры, однако значение теории комплексных чисел далеко выходит за пределы алгебры. Во многих других частях математики, как и в алгебре, нельзя обойтись без них. Во многих приложениях, например в теории переменных токов, ряд вопросов наиболее просто решается при помощи комплексных чисел. Но что наиболее важно — это применение

комплексных чисел, собственно теории функций от комплексного переменного, к теории некоторых специальных функций от двух действительных переменных, которые называются гармоническими. При помощи этих функций решают важные вопросы теории полета самолета, теории движения теплоты в пластинке, теораи плоского электрического поля и некоторые вопросы теории упругости. Знаменитая теорема о поддерживающей силе крыла самолета была получена создателем современной аэродинамики Н. Е. Жуковским при помощи исследования функций комплексного переменного.

Перейдем теперь к доказательству основной теоремы алгебры.

Теорема. Любой многочлен

коэффициенты которого

— любые заданные действительные или комплексные числа, имеет хоти бы один, действительный или комплексный, корень.

Мы будем предполагать, что заданный многочлен степени т. е. что