§ 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

1. К XVI В. исследование движения стало центральной задачей естествознания. К исследованию движения, исследованию различных процессов изменения и зависимостей между изменяющимися величинами естественные науки были подведены запросами практики и всем развитием самих этих наук.

Как отражение общих свойств изменяющихся величин и зависимостей между ними в математике возникли понятия переменной величины и функции, и это кардинальное расширение предмета математики определило переход к новому ее этапу — математике переменных величин.

Закон движения тела по данной траектории, например по прямой, определяется тем, как нарастает со временем пройденный телом путь.

Так, Галилей (1564—1642) открыл закон падения, установив, что путь, проходимый падающим телом, нарастает пропорционально квадрату времени. Это выражается известной формулой

(где ).

Вообще закон движения задает путь, пройденный за время Здесь время и путь две переменные: «независимая» и «зависимая», а тот факт, что каждому отвечает определенный путь означает, что путь есть функция времени

Математические понятия переменной и функции представляют собой не что иное, как абстрактное обобщение конкретных переменных величин (как время, путь, скорость, угол поворота, зачерчиваемая площадь и т. д.) и конкретных зависимостей между ними (как зависимость пути от времени и т. д.). Как понятие действительного числа есть отвлеченный образ значения любой величины, так «переменная» есть отвлеченный образ изменяющейся величины — величины, необходимо принимающей в рассматриваемом процессе разные значения. Математическая переменная величина х есть не что иное, как «нечто», или, лучше сказать, что угодно, что может принимать разные численные значения. Это есть, стало быть, переменная вообще; под ней можно разуметь и время, и путь, и любую другую величину.

Совершенно так же функция есть отвлеченный образ зависимости одной величины от другой. Утверждение, что у есть функция х, обозначает

в математике только то, что каждому значению, которое может принять х, отвечает определенное значение у. (Функцией называют также самое соответствие или закон соответствия значений у значениям Например, по закону падения, пройденный путь связан со временем падения формулой (1). Путь есть функция времени.

Энергия движущегося тела выражается через его массу и скорость по формуле

Для данного тела энергия Е есть функция скорости

По известному закону количество тепла, выделяемое в проводе в единицу времени при прохождении тока, выражается формулой

где — сила тока, сопротивление провода. При данном сопротивлении каждой силе тока отвечает определенное количество тепла выделяемое в единицу времени. Стало быть, есть функция

Рис. 5.

Площадь S прямоугольного треугольника с данным острым углом а и прилежащим катетом х (рис. 5) выражается формулой

При данном угле а площадь есть функция катета

Все формулы могут быть объединены в одной

Это и есть переход от конкретных переменных величин и т. д. к переменным вообще х и у, от конкретных зависимостей (1),(2), (3), (4) — к их общему виду (5). Если механика и теория электричества имеют дело с конкретными формулами (1), (2), (3), связывающими конкретные величины, то математическое учение о функциях имеет дело с общей формулой (5), не связывая ее ни с какими конкретными величинами.

Следующая ступень отвлечения от конкретного состоит в том, что рассматривают не данную зависимость у от х, как , а функциональную зависимость у от х вообще, выражаемую отвлеченной формулой

Эта формула означает, что величина у есть вообще некоторая функция х, т. е. каждому значению, которое может принять х, каким-либо способом отвечает определенное значение у. Предметом математики становятся

не только те или иные данные функции но любые (точнее: более или менее любые) функции. Эти ступени отвлечения сначала от конкретных величин, а потом и от конкретных функций аналогичны ступеням абстракции, пройденным при образовании понятия о целом числе: сначала отвлечение от конкретных совокупностей предметов приводит к понятию об отдельных числах (1, 3, 12 и т. п.), а дальнейшее отвлечение приводит к понятию любого целого числа вообще. Это обобщение есть результат глубокого взаимодействия анализа и синтеза: анализа отдельных зависимостей и синтеза выявленных их общих черт в форме новых понятий.

Область математики, посвященная изучению функций, называется анализом, математическим анализом или, чаще, анализом бесконечно малых. Последнее название связано с тем, что важным средством изучения функций является понятие о бесконечно малой величине (содержание этого понятия и его значение разъясняются в главе II).

Так как функция есть отвлеченный образ зависимости одной величины от другой, то можно сказать, что анализ имеет своим предметом зависимости между переменными величинами, но не между теми или иными конкретными величинами, а между переменными вообще, в отвлечении от их содержания. Такое отвлечение обеспечивает широту применений анализа, так как в одной формуле, в одной теореме он охватывает бесконечное число возможных конкретных случаев. Пример тому дают уже наши простые формулы (1)-(5). Здесь видна полная аналогия анализа с арифметикой и алгеброй. Все они возникли из определенных практических задач и отражают в общем, отвлеченном виде реальные количественные отношения действительности.

2. Итак, новый период в математике, начавшийся в XVII в., - период математики переменных величин, можно определить как период появления и развития анализа. (Это третий из перечисленных выше крупных этапов развития математики.) Понятно, однако, что никакая теория не возникает в результате одного образования новых понятий, так и анализ не мог появиться из одних понятий переменной и функции. Для создания теории, и тем более целой области науки, какой является математический анализ, нужно, чтобы новые понятия, так сказать, пришли в действие, чтобы через них открывались новые взаимосвязи, чтобы они позволяли решать новые задачи.

Более того, сами новые понятия зарождаются, развиваются, уточняются, обобщаются только на основе тех задач, которые они позволяют решить, только на основе тех теорем, в которые они входят. Понятия переменной и функции не возникли сразу в готовом виде у Галилея, Декарта, Ньютона или кого-либо еще. Они зарождались у многих математиков (как, например, у Непера в связи с логарифмами), потом приняли более или менее отчетливую, но далеко не окончательную форму у Ньютона

и Лейбница и уточнялись и обобщались дальше с развитием анализа. Современное определение их сложилось только в XIX в., но и оно не является абсолютно строгим и совершенно окончательным. Развитие самого понятия функции продолжается и в настоящее время.

Математический анализ создавался на материале зарождавшейся механики, на задачах геометрии и методах и задачах, идущих из алгебры.

Первым решительным шагом в создании математики переменных величин был выход в 1637 г. книги Декарта «Геометрия», где были заложены основы так называемой аналитической геометрии. Основные идеи Декарта следующие.

Пусть мы имеем, например, уравнение

В алгебре х и у понимали как неизвестные, и так как данное уравнение не позволяет их определить, то оно не представляло для алгебры существенного интереса. Декарт же рассматривает х и у не как неизвестные, которые нужно находить из уравнения, но как переменные; само же уравнение выражает тогда зависимость между зтими переменными. Такое уравнение в общем виде можно, перенося все члены в левую часть, записать так:

Далее, Декарт вводит на плоскости координаты называемые теперь декартовыми (рис. 6). Тем самым с каждой парой значений х, у сопоставляется точка, и обратно: каждой точке отвечают ее координаты .

Рис. 6.

Рис. 7.

Благодаря этому уравнение определяет геометрическое место тех точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Это будет, вообще говоря, некоторая линия. Например, уравнение (6) определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. В самом деле, как видно из рис. 7, по теореме Пифагора есть квадрат расстояния от начала О до точки М с координатами х и у. Поэтому

уравнение (6) определяет геометрическое место тех точек, расстояние которых от начала равно а, т. е. окружность.

Обратно: геометрическое место точек, заданное тем или иным геометрическим условием, можно задавать уравнением, выражающим то же условие на языке алгебры с помощью координат. Так, например, геометрическое условие, определяющее окружность, — то, что она есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной, — это условие на алгебраическом языке выражается уравнением (6).

Таким образом, - общая задача и Метод аналитической геометрии состоят в следующем: представить то или иное уравнение с двумя переменными линией на плоскости и по алгебраическим свойствам уравнения исследовать геометрические свойства соответствующей линии, и обратно: по геометрическим условиям, задающим линию, найти ее уравнение и потом опять по алгебраическим свойствам уравнения исследовать геометрические свойства этой линии. Таким путем геометрические задачи можно сводить на алгебраические и, в конце концов, на вычисление.

Содержание метода аналитической геометрии будет подробно объяснено в главе III. Сейчас мы хотим обратить внимание на то, что, как видно из нашего краткого изложения, источником этого метода служит сочетание геометрии, алгебры и общей идеи переменной величины. Главное геометрическое содержание начал аналитической геометрии составляет теория конических сечений (эллипс, гипербола, парабола). Эта теория, как уже упоминалось, была развита еще древними; выводы Аполлона уже содержали в геометрической форме уравнения конических сечений. Соединение этого геометрического содержания с алгебраической формой, подготовленной развитием математики после греков, и с общей идеей переменной величины, возникшей в связи с изучением движения, и дало аналитическую геометрию.

Если для греков конические сечения были предметом чисто математического интереса, то ко времени Декарта их изучение приобрело реальное значение для астрономии, механики и техники. Кеплер (1571—1630) открыл, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, а Галилей установил, что брошенное тело, будь то камень или пушечное ядро, летит по параболе (в первом приближении, если можно пренебречь сопротивлением воздуха). В результате вычисление разных данных, относящихся к коническим сечениям, стало насущной необходимостью. Метод Декарта решал именно эту насущную задачу. Словом, он был подготовлен предшествующим развитием математики и вызван к жизни назревшими потребностями науки и техники.

3. Следующим решающим шагом в математике переменных величин было создание Ньютоном и Лейбницем во второй половине XVII в. дифференциального и интегрального исчисления. Это и было фактическим возникновением анализа, так как предмет этих исчислений составляют свойства

функций самих по себе, в отличие от аналитической геометрии, предмет которой все-таки составляют еще геометрические фигуры. Ньютон и Лейбниц в действительности только завершили огромную подготовительную работу, в которой участвовали многие математики и начала которой восходят еще к приемам определения площадей и объемов, выработанным древними греками.

Мы не будем объяснять здесь содержание основных понятий дифференциального и интегрального исчисления, а также последовавших за ними теорий анализа, — это будет сделано в главах, посвященных этим теориям. Мы хотим только обратить внимание на источники дифференциального и интегрального исчисления, которыми служили главным образом новые задачи механики и достаточно старые задачи геометрии: задачи проведения касательных к кривым линиям и определения площадей и объемов. Этими задачами, занимались еще древние (достаточно упомянуть Архимеда); в начале XVII в. ими занимались многие математики. Кеплер, Кавальери и другие. Однако решающим было открытие замечательной связи обоих видов задач и формулировка общего метода их решения, — это составляло заслугу Ньютона и Лейбница.

В основе открытия названной связи зада? механики и геометрии лежит вытекающая из метода координат возможность графического изображения зависимости одной величины от другой, т. е. графического изображения функций. Опираясь на графическое изображение функций линиями, легко формулировать, в чем состоит связь задач механики и геометрии, лежащая в истоках дифференциального и интегрального исчисления, и в чем содержание этих исчислений.

Дифференциальное исчисление в своей основе есть метод нахождения скорости движения в любой данный момент времени, когда известна зависимость пути от времени. Эта задача решается «дифференцированием». Оказывается, она совершенно равносильна задаче проведения касательных к той линии, которая дает графическое изображение зависимости пути от времени. Скорость в момент времени просто равна тангенсу угла наклона касательной в точке, отвечающей этому на графике (рис. 8).

Интегральное исчисление в своей основе есть метод нахождения пройденного пути, когда известна зависимость скорости от времени (или вообще — нахождения суммарного результата действия переменной величины). Это задача) очевидно, обратная задаче дифференциального исчисления, т. е. задаче нахождения скорости: она решается «интегрированием». Оказывается, она совершенно равносильна задаче нахождения площади под кривой, которая дает графическое изображение зависимости скорости от времени. Путь, пройденный за промежуток времени от момента до просто равен площади под изображающей график скорости кривой, между прямыми, отвечающими на графике значениям и (рис. 9).

Стоит отвлечься от механической формулировки задач дифференциального и интегрального исчисления и говорить о функциях вообще,

а не о зависимости пути или скорости от времени, как мы получим общее понятие о задачах дифференциального и интегрального исчисления в их чистом виде.

В основе дифференциального и интегрального исчисления, как и всего анализа в его дальнейшем развитии, помимо понятий переменной и функции, лежит также сложившееся позже понятие предела.

Рис. 8.

Рис. 9.

В период формирования анализа оно заменялось употреблением несколько расплывчатого в то время понятия бесконечно малой величины. Способы фактического вычисления скорости по закону изменения пути — «дифференцирование» и пути по скорости — «интегрирование» основаны на применении алгебры в соединении с. понятием предела. Анализ возник в результате соединения этих понятий и приемов с упомянутыми задачами механики, геометрии и некоторыми другими (например, задачами на максимум и минимум). Он был насущно необходим для развития механики, в самой формулировке законов которой уже фигурируют, хотя бы в скрытом виде, понятия анализа. Второй закон Ньютона в формулировке самого Ньютона говорит, что «изменение количества движения пропорционально действующей силе». Точнее: скорость изменения количества движения пропорциональна силе. Стало быть, для того, чтобы пользоваться этим законом, нужно уметь определять скорость изменения некоторой величины, т. е. дифференцировать. Если мы будем формулировать тот же закон, говоря, что ускорение пропорционально силе, то проблема сохранится, потому что ускорение есть не что иное, как скорость изменения скорости. Само собой также понятно, что для определения закона движения, вызываемого данной переменной силой, т. е. происходящего с данным, вообще говоря, переменным ускорением, нужно уметь решать обратную задачу — находить самую величину по скорости ее изменения, т. е. нужно интегрировать. Можно сказать, что Ньютон был просто вынужден изобрести дифференцирование и интегрирование, чтобы иметь возможность развивать механику.

4. Вместе с дифференциальным и интегральным исчислением зародились другие отделы анализа: теория рядов (см. главу II, § 14), теория дифференциальных уравнений (главы V и VI, том), применение анализа к геометрии, выделившееся позже в особую область геометрии — общую теорию кривых линий и поверхностей, называемую дифференциальной геометрией (глава VII, том 2). Все эти теории также были вызваны к жизни и побуждались к развитию задачами механики, физики и техники.

Теория дифференциальных уравнений — важнейшая ветвь анализа — имеет дело с такими уравнениями, где неизвестной является уже не величина, а функция, т. е. закон зависимости одной величины от другой или от нескольких других величин. Легко понять, откуда возникают такие задачи. В механике требуется определить закон движения тела в данных условиях, а не какое-нибудь одно значение скорости или пути. В механике жидкостей требуется найти] распределение скоростей по всей массе текущей жидкости, т. е. найти зависимость скорости от всех трех координат в пространстве и еще от времени. Аналогично в теории электричества и магнетизма требуется найти напряжение поля во всем пространстве, т. е. зависимость этого напряжения от тех же трех координат. И тому подобное.

Такого рода задачи постоянно возникали в механике, включая гидродинамику и теорию упругости, в акустике, в теории электричества и магнетизма, в теории тепла. Вообще с момента своего возникновения анализ развивался в самой тесной связи с развитием механики и вообще физики. Крупнейшие достижения анализа всегда были связаны с решением задач, поставленных этими науками. Начиная с Ньютона, величайшие аналитики Д. Бернулли (1700—1782) и Л. Эйлер (1707—1783), Ж. Лагранж (1736—1813) и А. Пуанкаре (1854—1912), М. В. Остроградский (1801—1861) и А. М. Ляпунов (1857—1918), как и многие другие, в своих работах, прокладывавших новые пути в анализе, исходили, как правило, из насущных задач современного им точного естествознания.

Так возникли новые теории: Эйлер и Лагранж создают в прямой связи с механикой новую ветвь анализа так называемое вариационное исчисление (см. главу VIII, том 2), а в конце ХIХ в. Пуанкаре и Ляпунов, опять-таки исходя из задач механики, создают так называемую качественную теорию дифференциальных уравнений (см. главу V, том 2, § 7).

В XIX в. анализ обогатился новой важной ветвью — теорией функций комплексного переменного (см. главу IX, том 2). Зачатки этой теории имелись еще в трудах Эйлера и некоторых других математиков, но оформление ее в стройную теорию произошло к середине XIX в. и исходило в большой степени от французского математика Коши (1789—1857). Эта теория скоро достигла значительного развития и приобрела большое значение вследствие богатства своего содержания, а также потому, что она позволила глубже проникнуть в ряд законов анализа и нашла существенные приложения к решению важных задач самой математики, физики и техники.

Анализ бурно развивался, став не только центром и главной частью математики, но и проникнув в более старые ее области: алгебру, геометрию и даже теорию чисел. Алгебру стали понимать в основном как учение о функциях, выражаемых в виде многочленов от одной или нескольких переменных В геометрии стала господствовать аналитическая и дифференциальная геометрия. Наконец, еще Эйлер ввел методы анализа в теорию чисел, положив тем самым начало так называемой аналитической теории чисел, с развитием которой связаны глубочайшие достижения науки о целом числе.

Через анализ с его понятиями переменной, функции и предела во всю математику проникает идея движения, изменения и, стало быть, диалектика. Точно так же, в основном через анализ, математика испытывает на себе влияние точного естествознания и техники и сама включается в их развитие в качестве метода точной формулировки его законов и решения его задач. Как у греков математика была в основном геометрией, так, можно сказать, после Ньютона она стала в основном анализом. Конечно, анализ не поглотил всей математики целиком; в геометрии, теории чисел и алгебре всегда сохранялись специфические для них задачи и методы. Так, еще в XVII в. одновременно с аналитической геометрией зародилась другая глава геометрии — проективная геометрия, в которой господствовали чисто геометрические методы. Она имела своим источником задачи изображения предметов на плоскости (проектирование) и соответственно применяется, в частности, в начертательной геометрии.

Тогда же зародилась новая важная область математики — теория вероятностей, имеющая своим предметом закономерности, обнаруживающиеся в больших массах явлений, как серии выстрелов или бросаний монеты. Она приобрела в последнее время особое значение для физики и техники; ее расцвет, в достижении которого сыграли большую роль труды русских и советских математиков, также обусловлен идущими от естествознания и практики проблемами и применением методов анализа. Своеобразие этой теории состоит в том, что она имеет дело с законами «случайных событий», давая математические методы исследования необходимости, которая проявляется в случайности. Основы теории вероятностей будут освещены в главе XI (том 2).

5. Анализ со всеми его ответвлениями дал естествознанию и технике мощные методы решения разнообразнейших задач. Мы уже упоминали первые из них: нахождение скорости изменения какой-либо величины, когда известна зависимость самой величины от времени; определение

площадей криволинейных фигур и объемов тел; определение суммарного результата какого-либо процесса или суммарного действия переменной величины. Так, интегральное исчисление позволяет определить работу газа при расширении, когда давление изменяется по известному закону; что же исчисление позволяет вычислять, например, напряжение электрического поля сколь угодно сложной системы зарядов, исходя из закона Кулона, определяющего напряжение поля от одного точечного заряда, и т. п.

Далее, анализ дал метод нахождения наибольших и наименьших значений величин при тех или иных условиях.

Рис. 10.

Рис. 11.

Так, с помощью анализа легко определить форму цилиндрической цистерны, которая при данном объеме имеет наименьшую поверхность и тем самым требует наименьшей затраты материала. Оказывается, это будет, когда высота цистерны равна диаметру ее основания (рис. 10). Анализ позволяет найти форму линии, по которой должно скатываться тело, чтобы в наименьшее время попасть из одной данной точки в другую (эта линия — так называемая циклоида; рис. 11).

Как решаются эти и другие подобные задачи, читатель узнает из глав II и VIII (том 2).

Анализ, точнее теория дифференциальных уравнений, дает возможность находить не просто отдельные значения переменных величин, ной неизвестные функции, т. е. законы зависимости одних величин от других. Так, мы имеем возможность, исходя из общих законов электрического тока, рассчитывать зависимость силы тока от времени при включении напряжения в любой цепи с сопротивлением, емкостью и самоиндукцией. Мы имеем возможность определять закон течения жидкости, закон распределения скоростей во всей массе жидкости при данных условиях ее течения. Мы имеем возможность вывести общие законы колебаний струн, мембран, законы распространения колебаний в различных средах: это относится к звуковым волнам, электромагнитным волнам, упругим колебаниям, распространяющимся в земле при землетрясениях и взрывах; кстати, это дает новые методы разведки полезных ископаемых и глубинного исследования грунтов. Отдельные задачи такого рода читатель встретит в главах V и VI (том 2).

Наконец, анализ дает не только способы решения тех или иных задач, он дает общие методы для самой математической формулировки количественных законов точного естествознания. Как уже сказано раньше, общие законы механики нельзя формулировать математически, не прибегая к понятиям анализа, а без такой формулировки мы не имели бы возможности решать задачи механики. Точно так же общие законы теплопроводности, диффузии, распространения колебаний, течения химических реакций, основные законы электромагнетизма и многие, многие другие просто не могут быть математически точно формулированы без понятий анализа. Только благодаря такой формулировке эти законы дают основу для применения их в разнообразнейших конкретных случаях, дают основу для точных математических выводов в отдельных задачах, касающихся теплопроводности, колебаний, растворения, электромагнитного поля, в задачах механики, астрономии, всех многочисленных разделов физики, химии, теплотехники, энергетики, машиностроения, электротехники и т. д. и т. п.

6. Подобно тому, как в истории геометрии у греков строгое и систематическое изложение, данное Эвклидом, завершало долгий путь предшествующего развития, так по мере развития анализа нарастала необходимость его обоснования, более строгого и систематического, чем то, какое давали первые творцы его действенных методов: Ньютон, Эйлер, Лагранж и другие. Создаваемый ими анализ по мере своего роста, во-первых, шел к все более и более глубокими трудным задачам, а во-вторых, самый его объем требовал уже большей систематичности и про думанности его основ. Так, количественный рост теории необходимо порождает задачу ее лучшего обоснования, систематизации, критического разбора ее основ. «Обоснование» теории появляется как итог ее известного развития, а не исходный пункт, потому что без теории попросту неизвестно еще, что же нужно обосновывать. «Принципы, — как сказал Ф. Энгельс, — не исходный пункт исследования, а его заключительный результат». Кстати, об этом забывают некоторые современные формалисты, полагающие наиболее целесообразным излагать и даже развивать теории, исходя из аксиом, не предваренных никаким разбором того реального содержания, которое они должны суммировать. Но аксиомы сами по себе нуждаются в содержательном обосновании; они лишь суммируют другой материал и дают начало логическому построению теории.

Необходимый период критики, систематизации и обоснования наступил для анализа к середине прошлого столетия. Усилиями ряда выдающихся ученых эта важная и трудная работа была успешно выполнена.

В частности, получили строгие определения основные понятия действительного числа, переменной, функции, предела, непрерывности.

Впрочем, как мы уже имели случай заметить, никакое из этих определений нельзя считать абсолютно строгим и совершенно окончательным. Развитие этих понятий продолжается. Эвклид и все математики в течение двух тысяч лет после него, несомненно, считали эвклидовы «Начала» почти что пределом логической строгости. Но теперь, на современный взгляд, эвклидово обоснование геометрии выглядит довольно поверхностным. Этот исторический пример учит, что не следует обольщаться на счет «абсолютной» и «окончательной» строгости современной математики. В науке, которая еще не умерла и не превратилась в мумию, нет и не может быть ничего вполне завершенного. Однако мы можем сказать с уверенностью, что, во-первых, установленные теперь основания анализа достаточно хорошо отвечают современным задачам науки и современному понятию о логической точности и что, во-вторых, продолжающееся углубление этих понятий и идущая вокруг них дискуссия не заставляют и не заставят просто отбросить эти основания; но они ведут к новому, более точному и глубокому их пониманию, о результатах которого в полной мере пока еще, может быть, трудно судить.

Хотя установление принципов теории — это итог ее развития, но он не служит ее концом, а напротив, служит новому ее движению. Так было с анализом. В связи с уточнением его основ возникла новая математическая теория — созданная немецким математиком Кантором в 70-х годах прошлого столетия общая теория бесконечных множеств любых абстрактных объектов, будь то множества чисел, точек, функций или других «вещей» в том же роде. На почве этих идей выросла новая глава анализа — так называемая теория функций действительногопеременного — понятие о которой, так же как понятие об основаниях анализа и теории множеств, изложено в главе XV (том 3). Вместе с тем общие идеи теории множеств проникли во все области математики. Но эта «теоретико-множе-ственная точка зрения» неразрывно связана с новым этапом в развитии математики, к краткому рассмотрению которого мы сейчас и перейдем.