Контурные и поверхностные интегралы.
Наконец, следует отметить, что возможны еще другие обобщения интеграла. Так, например, задача об определении работы переменной силы, приложенной к материальной точке, движущейся по заданной кривой, естественно приводит к так называемому криволинейному интегралу 
а задача о нахождении общего заряда поверхности, на которой непрерывно распределено электричество с данной поверхностной плотностью, приводит к новому понятию — интеграла по поверхности.
Рис. 35.
Пусть, например, в пространстве течет жидкость (рис. 35) и при этом скорость частицы жидкости в точке 
выражается функцией 
. Таким образом скорость не зависит от 
Если мы хотим определить количество жидкости, вытекающей в минуту за пределы контура Г то можно рассуждать следующим образом. Разобьем Г на участки 
. Количество воды, протекающей через один участок 
приближенно равно заштрихованному на рис. 35 столбику жидкости, как бы выдавливающемуся за минуту через этот участок контура. Но площадь заштрихованного параллелограма равна
где 
угол между направлением х оси 
и идущим наружу из области, ограниченной контуром Г, перпендикуляром 
к направлению касательной, вдоль которой можно приближенно считать направленным отрезок 
Суммируя площади таких параллелограмов и переходя к пределу при все более мелких разбиениях контура Г, получим количество вытекающей в минуту через контур Г воды, которое обозначают так:
и называют криволинейным интегралом. Если поток не будет параллельным, то скорость течения будет иметь в каждой точке 
некоторые составляющие 
вдоль оси 
вдоль оси 
. В этом случае аналогичным рассуждением можно установить, что количество вытекающей
щей через контур Г воды будет равно
Когда речь идет об интеграле по кривой поверхности 
от заданной в ее точках 
функции 
то подразумевается предел сумм вида
при все более мелких разбиениях области 
по которой производится интегрирование, на участки, площади, которых равны 
Для кратных, криволинейных и поверхностных, интегралов существуют как общие методы их вычисления и преобразования, так и приближенные методы.
