Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.
Уравнение 2-й степени с тремя переменными
содержит 10 членов. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения с двумя переменными, можно показать, что, соответственно повернув заданные прямоугольные координаты вокруг начала, можно привести уравнение (17) к виду
т. е. уничтожить члены с произведениями переменных. Однако здесь доказательство возможности так упростить уравнение гораздо труднее, чем в случае плоскости. Трудность доказательства объясняется тем, что на плоскости поворот вокруг точки задается одним углом 
, который мы и подбирали. В пространстве же поворот тела вокруг неподвижной точки задается тремя независимыми углами (углы Эйлера) 
и притом довольно сложно. Поэтому приходится доказывать возможность избавления уравнения от членов с произведениями переменных обходным путем.
(см. в главе XVI (том 3) теорию приведения при помощи ортогонального преобразования квадратичной формы к сумме квадратов). Далее, так же как на плоскости, производится еще тот или иной параллельный перенос осей, и уравнение упрощается, после чего уравнение (18) окончательно принимает один из следующих канонических видов:
Последние девять канонических уравнений (9—17) не содержат членов с z и представляют собой как раз канонические уравнения линий 2-го порядка на плоскости Оху. В пространстве эти уравнения выражают цилиндры, направляющие которых суть соответственные; линии 2-го порядка в плоскости Оху и образующие которых параллельны оси Oz. Действительно,
то ему же удовлетворяет и точка с координатами 
какое бы ни взять 
так как все равно в уравнении нет членов с 
как легко видеть, уравнению 2) не удовлетворяет никакая точка с действительными 
а уравнению 6) удовлетворяет только одна такая точка 
- начало координат. Остается, таким образом, изучить только шесть уравнений: 1), 3), 4), 5), 7), 8).
