Теорема Ролля и некоторые ее следствия.

По известной теореме Ролля, если действительные числа а и являются корнями многочлена с действительными коэффициентами, то существует число с, лежащее между а и и являющееся корнем производной.

Из теоремы Ролля вытекают интересные следствия:

1. Если все корни многочлена действительны, то все корни его производной тоже действительны. При этом между

двумя соседними корнями существует один корень и этот корень простой. Действительно, пусть являются корнями с кратностями т. Ясно, что

Тогда производная по теореме о кратных корнях имеет корни с кратностями — и по теореме Ролля еще по крайней мере по одному корню внутри каждого из промежутков между двумя соседними корнями Таким образом, число действительных корней равно (с учетом кратностей) по крайней мере . Но как многочлен степени имеет (с учетом кратностей) корень. Следовательно, все корни действительны, являются простыми корнями, и других корней, кроме многочлен не имеет.

2. Если все корни многочлена действительны и из них положительных (с учетом кратностей), то имеет или положительных корней.

Действительно, пусть — все положительные корни многочлена с кратностями Тогда Производная будет иметь следующие положительные корни: с кратностями простые корни лежащие в промежутках и, может быть; еще один простой корень лежащий в промежутке где — наибольший неположительный корень Следовательно, число положительных корней равно или что и требовалось доказать.