Гиперболоиды и конус 2-го порядка.

Рассмотрим теперь уравнения 3), 4) и 5), т. е. уравнение вида

где или 0. Сравним это уравнение с уравнением

у которого знаменатель при тоже а не как в уравнении (19). Аналогично предыдущему замечаем, что поверхность (19) получается из поверхности (20) в результате растяжения ее от плоскости с коэффициентом

Посмотрим теперь, что представляет собою поверхность (20). Возьмем какую-нибудь плоскость перпендикулярную к оси и исследуем, как она пересекает поверхность (20). Подставляя в уравнение (20), мы получим уравнение

Если положительно, то полученное уравнение, вместе с дает окружность, лежащую в плоскости с центром на оси Если отрицательно, что может быть только при о и малых то плоскость вовсе не пересекает поверхности (20), так как сумма квадратов не может быть отрицательным числом.

Вся поверхность (20) состоит, таким образом, из окружностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к оси и имеющих свои центры на оси

Рис. 54.

Рис. 55.

Но в таком случае поверхность (20) — это поверхность вращения вокруг оси

Рис. 56.

Рис. 57.

Надо только пересечь ее какой-нибудь плоскостью, проходящей через ось чтобы найти ее «меридиан», т. е. линию, лежащую в плоскости, проходящей через ось, вращением которой она получается.

Пересечем поверхность (20) координатной плоскостью т. е. плоскостью (рис. 54), подставляя в уравнение (20), и мы получим

уравнение меридиана. В случае — это гипербола I, при - гипербола II, а при — пара пересекающихся прямых III. При вращении они дают так называемый однонолостный гиперболоид вращения (рис. 55), двуполостный гиперболоид вращения (рис. 56) и прямой круговой конус (рис. 57).

Общие однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и конус 2-го порядка (3, 4 и 5) получаются из только что рассмотренных поверхностей вращения растяжением их от плоскости с коэффициентом