§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Вывод формул преобразования Лоренца для движений по прямой и в плоскости из положения о постоянстве скорости распространения света.

В самом конце XIX в. в физике было обнаружено фундаментальное противоречие. Известный опыт Майкельсона, при котором измерялась скорость света (составляющая около в направлении движения Земли по ее орбите вокруг Солнца (скорость Земли около и в перпендикулярном к этому направлении, с неопровержимостью доказал, что все тела природы при своем движении, хотя бы в пустоте, как бы сокращаются в направлении движения. Теорию этого сокращения подробно исследовал голландский физик Лоренц. Оказалось, что это сокращение тем больше, чем скорость движущегося тела ближе к скорости света, в пустоте, причем при скорости, равной скорости света, сокращение становится бесконечным. Лоренц выписал формулы этого сокращения.

Однако вскоре физик Эйнштейн встал в этом вопросе на совсем иную точку зрения, к которой тогда был уже близок и Пуанкаре. Эйнштейн рассуждал так. Если считать, что для распространения света, как для обычного движения материального тела, верен закон сложения скоростей Галилея, то скорость света , где — скорость наблюдателя, движущегося навстречу распространению света, скорость света для неподвижного наблюдателя. Между тем из опыта Майкельсона следует, что Закон основывается на преобразовании

связывающем координату х некоторой точки по отношению к некоторой системе координат I с ее координатой х по отношению к системе координат II, оси которой остаются параллельны осям системы I и которая движется в направлении оси со скоростью по отношению к системе I. Очевидно, эти-то формулы, как говорит Эйнштейн, и должны быть изменены.

Можно показать, как это, например, сделал недавно А. Александров, что только из одного равенства скорости света в обеих координатных системах уже следует, что формулы преобразования от координат к координатам — линейные и однородные, т. е. имеют вид

Из других соображений можно показать, что определитель их равен единице.

Если точка в системе I движется в произвольном заданном направлении прямолинейно и равномерно со скоростью света с, то откуда

Но, согласно опыту Майкельсона, эта точка и в системе II должна двигаться с той же скоростью света с, и, следовательно, должно быть также

Формулы (26), таким образом, не произвольные линейные, однородные, с определителем, равным единице, а еще и такие, что если удовлетворяют уравнению

то и результаты их преобразования также удовлетворяют

этому уравнению. Такие преобразования (26) называются преобразованиями Лоренца.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда точка движется вдоль оси Ох. В этом случае формулы (26) имеют вид

а уравнение (27)

Введем обозначение тогда формулы (26) и, уравнение (27) примут вид

и

Найдем в явном виде формулы (26. Рассмотрим жим как декартовы прямоугольные координаты на плоскости, т. е. рассмотрим вопрос геометрически, причем будем считать, что формулы суть формулы аффинного преобразования плоскости (определитель их, как было указано выше, равен единице). Преобразование это мы будем обозначать через . Если по нашему предположению, из следует то это преобразование переводит крест прямых

в себя. Преобразование следовательно, — комбинация сжатия в и растяжения с одинаковыми коэффициентами вдоль этих прямых.

Рис. 85.

Из рис. 85 получаем

А так как после преобразования перейдут в то

Найдя через из первой, пары уравнений, подставляя во

вторую и упрощая, получим

или, полагая здесь мы получаем

— это и есть знаменитые формулы Лоренца.

Если взять здесь, в частности, т. е. рассматривать движение начала координат системы I, то мы получим

или откуда видно, что есть скорость движения системы координат II по отношению к системе I.

Пусть, например, заданы две точки оси с координатами относительно системы расстояние между ними относительно системы I есть Посмотрим, каково расстояние между ними для наблюдателя, связанного с системой II. Мы имеем

откуда

Множитель есть, очевидно, как раз коэффициент сокращения Лоренца. Так как с очень велико, то при не очень больших этот коэффициент весьма близок к единице и сокращения поэтому не заметно. Однако такие элементарные частицы, как электроны или позитроны, движутся часто со скоростями, сравнимыми со скоростью света, и поэтому при изучении их движений приходится учитывать эти обстоятельства, как говорят, приходится учитывать релятивистский эффект.

Перейдем теперь к следующему по сложности случаю, когда точка движется в плоскости Для этого случая преобразования (26) будут иметь вид

где

а уравнение (27) будет

Это — формулы Лоренца для движения в плоскости Оху.

Опять положим Тогда преобразования напишутся так:

причем определитель их будет снова равен единице, а уравнение примет более простой вид

Будем считать и декартовыми прямоугольными координатами точки обыкновенного трехмерного пространства и будем рассматривать формулы (26а) как формулы аффинных преобразований этого пространства. Уравнение (272) выражает прямой круговой конус К с углом 90° при вершине (рис. 86).

С точки зрения этого геометрического (геометрического потому, что здесь мы считаем просто пространственной координатой) толкования преобразования Лоренца, движения в плоскости суть не что иное, как все эквиаффинные (т. е. аффинные, не изменяющие объемов) преобразования этого пространства, которые преобразуют конус К в себя.

Рассмотрим некоторые такие специальные преобразования Лоренца:

1. Очевидно, что любой простой поворот пространства, как жесткого целого, вокруг оси конуса К на некоторый угол есть эквиаффинное преобразование пространства, преобразующее конус К в себя, т. е. некоторое специальное преобразование Лоренца. Будем его обозначать через

2. Отражения пространства в любой плоскости проходящей через ось конуса К, суть, очевидно, также преобразования Лоренца. Мы будем их обозначать через тт.

3. Наконец, рассмотрим еще следующее преобразование (рис. 87). Пусть — какая-либо пара противоположных образующих конуса, — плоскости, касающиеся конуса по этим образующим. Плоскости эти взаимно перпендикулярны. Сделаем сжатие пространства к плоскости Р и растяжение его с тем же коэффициентом от плоскости или наоборот. Например, сожмем пространство в три раза к плоскости Р и растянем его тоже в три раза от плоскости Такое преобразование пространства, очевидно, тоже аффинное и сохраняет величину всех объемов. Будем

его обозначать через . Покажем, что это преобразование переводит конус К в себя. В силу того, что конус К имеет ось и своею осью вращения, можно всю фигуру повернуть так, чтобы образующие лежали, например, в плоскости Поэтому достаточно доказательство провести для этого случая.

Для доказательства пересечем конус К любой плоскостью параллельной плоскости Уравнение такой плоскости где — постоянная. Подставляя это значение в уравнение конуса К, получаем

Это уравнение гиперболы, для которой как раз прямые пересечения плоскости с плоскостями Р и суть асимптоты. Но так как для точек такой

Рис. 86.

Рис. 87.

Гиперболы характерно то, что произведение расстояний асимптот (т. е. до плоскостей Р и постоянно, при преобразовании всякая точка такой гиперболы останется на этой же гиперболе и гипербола перейдет в себя. Но вся поверхность конуса К состоит из таких гипербол, и поэтому при преобразовании пространства конус К преобразуется в себя. Это преобразование поэтому — тоже преобразование Лоренца.

Так как при аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые и пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся прямые, то связка S прямых при любом преобразовании Лоренца взаимно однозначно отображается на себя. Кроме того, при аффинных преобразованиях пространства всякая плоскость переходит в плоскость, поэтому при этих преобразованиях связки S на себя получается проективное преобразование этой связки. Если пересечь эту связку некоторой плоскостью П, перпендикулярной к оси конуса К, которая, как целое, не участвует в рассмотренных преобразованиях Лоренца пространства, дополнить эту плоскость До проективной плоскости П и следить за точками пересечения прямых связки S с плоскостью П, то преобразования Лоренца, преобразуя связку, будут попутно давать некоторые проективные преобразования

плоскости П, переводящие круг а, по которому плоскость П пересекается с внутренней частью конуса К, в себя. Для того чтобы разобраться в свойствах преобразований Лоренца, проще всего следить за вызываемыми ими проективными преобразованиями круга а в себя.