§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциал функции.

Рассмотрим функцию имеющую производную. Приращение этой функции

соответствующее приращению аргумента , обладает тем свойством, что отношение при стремится к конечному пределу, равному производной

То же самое можно записать в виде равенства

где а — величина, зависящая от , и притом такая, что при , она тоже стремится к нулю. Отсюда приращение функции представляется в виде

где

Первое слагаемое правой части этого равенства весьма просто зависит от , именно: оно пропорционально Дж. Его называют дифференциалом

функции для заданного значения соответствующим данному приращению аргумента , и обозначают

Второе слагаемое характерно тем, что оно стремится к нулю при быстрее, чем благодаря наличию в нем множителя а. Говорят, что второе слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к , а в случае, если и по отношению к первому слагаемому. Этим хотят сказать, что при достаточно малом Да; второе слагаемое не только само мало, но и его отношение к становится сколь угодно малым.

Рис. 21.

Это разложение на два слагаемых, из которых первое (главная часть) линейно зависит от , а второе ничтожно мало при малых можно проследить на рис. 21. Отрезок при этом где — бесконечно малая высшего порядка относительно

На практике часто пользуются дифференциалом для приближенного представления приращения функции. Например, пусть требуется определить объем стенок закрытой кубической коробки, внутренние линейные размеры которой равны 10 х 10 X 10 см, а толщина стенок 0,05 см. Если не требуется при этом особой точности, можно рассуждать так. Объем всех стенок коробки представляет собой приращение функции при соответствующее . Приближенно мы находим:

В целях симметрии обозначений приращение независимой переменной принято обозначать символом и также называть его дифференциалом. При таком обозначении дифференциал функции будет записываться так:

Отсюда производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Дифференциал функции исторически ведет свое происхождение от понятия «неделимой». Это с современной точки зрения далеко не четкое понятие в свое время, в XVII в., было основным в математическом анализе. Представление об этом понятии в течение нескольких столетий претерпело существенные изменения. Неделимую, а затем дифференциал функции, представляли как актуальную бесконечно малую величину — что-то

вроде очень малой постоянной величины, не являющейся в то же время нулем. Выше было дано определение дифференциала, как оно понимается в современном анализе. В силу этого определения дифференциал есть величина конечная для каждого приращения аргумента и притом пропорциональная ему. Другое основное свойство дифференциала — характер отличия его от можно познать лишь в движении, именно: если мы будем рассматривать стремящееся к нулю (бесконечно малое) приращение то разница между будет при этом становиться сколь угодно малой даже по отношению к

На замене малых приращений дифференциалами строится большинство приложений анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы. Особенно ясно читатель увидит это на примере дифференциальных уравнений, которым в этой книге посвящены главы V и VI (том 2).

Рис. 22.

Чтобы узнать функцию, выражающую данный процесс, стараются получить сначала уравнение, связывающее определенным образом эту функцию с ее производными того или иного порядка. Метод получения такого уравнения, называемого дифференциальным, часто сводят к замене приращений искомых функций соответствующими дифференциалами.

Решим для примера следующую задачу. В пространстве, где задана прямоугольная система координат рассмотрим поверхность, полученную вращением параболы, уравнение которой (в плоскости имеет вид Эта поверхность называется параболоидом вращения (рис. 22). Пусть обозначает объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостью, параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстоянии Очевидно, есть функция от

Чтобы узнать, чему равна функция попытаемся найти ее дифференциал . Приращение функции в точке z равно объему, ограниченному параболоидом и двумя плоскостями, параллельными плоскости и отстоящими от нее на расстояниях

Легко видеть, что величина больше объема кругового цилиндра радиуса и высоты но меньше объема кругового цилиндра радиуса и высоты Таким образом,

и, следовательно,

где 0 — некоторое число, зависящее от и удовлетворяющее неравенству

Таким образом, нам удалось приращение представить в виде суммы, первое слагаемое которой пропорционально , а второе слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к Отсюда следует, что первое слагаемое есть дифференциал функции

или

так как для независимой переменной имеет место равенство

Полученное равенство связывает между собой дифференциалы (переменных ) и потому называется дифференциальным уравнением.

Если принять во внимание, что

где есть производная от по переменной то наше дифференциальное уравнение можно записать еще в виде

Решение этого простейшего дифференциального уравнения сводится к отысканию функции от производная от которой равна . В общем виде подобной задаче посвящаются §§ 10 и 11, а сейчас мы предоставляем читателю проверить, что решением нашей задачи является функция , где в качестве С можно взять любое постоянное число

В данном случае функция, выражающая объем рассматриваемого нами тела, очевидно, равна нулю при (см. рис. 22), отсюда . Таким образом, наша функция определяется равенством