§ 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА

В § 10 мы называли определенным интегралом от функции на отрезке предел сумм

при стремлении к нулю наибольшего участка Дж разбиения отрезка Несмотря на то, что класс функций для которых этот предел действительно существует (класс интегрируемых функций), весьма широк, в частности охватывает все непрерывные и даже многие разрывные функции, этот класс функций обладает серьезным недостатком. Складывая, вычитая, умножая, а при определенных условиях и деля значения двух интегрируемых функций мы получаем, как это можно доказать, функции, снова интегрируемые. Для это во всяком случае верно, если величина остается ограниченной на Но если мы некоторую функцию получили в результате предельного перехода от приближающих ее интегрируемых функций так, что при всех х из

то предельная функция не обязательно окажется интегрируемой.

В ряде случаев это и другие обстоятельства создают большие осложнения в самом математическом аппарате, широко пользующемся процессами предельного перехода.

Выход из положения был найден в дальнейших обобщениях понятия интеграла. Важнейшим из таких обобщений является интеграл Лебега, с которым читатель познакомится в главе XV (том 3), посвященной теории функций действительного переменного. Мы же должны будем здесь остановиться на весьма важных для практики обобщениях интеграла в другом направлении.

Кратные интегралы.

Мы познакомились с процессом интегрирования функции одной переменной, заданной на одномерной области — отрезке. Но аналогичный процесс возможно распространить также и на функции двух, трех и вообще многих переменных, заданные на соответствующих областях.

Пусть, например, в прямоугольной системе координат задана поверхность

а в плоскости задана область ограниченная замкнутой кривой Г. Требуется определить объем, ограниченный нашей поверхностью, плоскостью и цилиндрической поверхностью, проходящей через кривую Г с образующей, параллельной оси (рис. 33). Чтобы решить эту задачу, разделим плоскую область на частичные области при помощи какой-либо сетки прямых, параллельных осям и перенумеруем те из этих частичных областей

которые представляют собой полные прямоугольники. Если сетка достаточно густа, то значительная часть нашей области будет исчерпана перенумерованными прямоугольниками. В каждом из них мы выберем по произвольной точке

и, считая для простоты, что обозначает не только прямоугольник, но и число, равное его площад составим сумму

Рис. 33.

Очевидно, если поверхность непрерывна, а сетка достаточно густа, то эта сумма может быть сделана как угодно близкой к искомому объему V. Мы получим наш объем точно, если возьмем предел суммы (47) при все более мелких разбиениях (т. е. в предположении, что даже наибольшая из диагоналей наших прямоугольников стремится к нулю)

С аналитической точки зрения для определения объема V потребовалось произвести над функцией областью где она задана, некоторую математическую операцию, указанную в левой части равенства (48). Эта операция называется операцией интегрирования в области

а результат ее — интегралом от функции по области . Этот результат принято обозначать следующим образом:

Подобным образом можно определить интеграл от функции трех переменных по трехмерной области представляющей собой некоторое тело в пространстве. Мы снова делим область на части на этот раз плоскостями, параллельными координатным плоскостям в пространстве. Выбираем среди этих частичных областей полные параллелепипеды и перенумеровываем их

В каждом из них берем по произвольной точке

и составляем сумму

где обозначает объем параллелепипеда Наконец, интеграл от по области определяем как предел

к которому стремится сумма (50), когда максимальная диагональ стремится к нулю.

Рассмотрим пример. Представим себе, что область заполнена неравномерно массой, причём известна функция , выражающая плотность распределения массы в Плотность массы в точке определяется как предел, к стремится отношение Массы какой-либо малой области, содержащей точку к ее объему, когда диаметр этой области стремится к нулю. Чтобы определить массу тела естественно рассуждать так. Делим область на части плоскостями, параллельными плоскостям координат, перенумеровываем образованные при зтом полные параллелепипеды

Если плоскости, делящие расположены достаточно густо, то мы сделаем малую ошибку, если пренебрежем массами неправильных частичных областей, а массу каждой правильной области (полного параллелепипеда) определим приближенно как произведение

где какая-либо точка . В результате приближенное значение массы М будет выражаться суммой

а точное ее выражение, очевидно, есть предел этой суммы, когда максимальная диагональ стремится к нулю, т. е.

Интегралы (49) и (51) носят соответственно название дву- и трехкратных интегралов.

Разберем задачу, приводящую к двукратному интегралу. Представим себе, что по плоской поверхности течет вода. Кроме того, на поверхность с разной интенсивностью в разных местах просачивается подпочвенная вода (или, наоборот, вода уходит в грунт).

Рис. 34.

Выделим ограниченную замкнутым контуром область (рис. 34) и допустим, что нам известна интенсивность т. е. количество выделяющейся в минуту подпочвенной воды на 1 см поверхности, в каждой точке области там, где выделяется подпочвенная вода, и там, где вода просачивается в грунт). Сколько воды выделяется в минуту во всей области

Если мы разобьем область на небольшие участки и подсчитаем количество выступающей воды приближенно, считая на каждом участке постоянной, а затем перейдем к пределу при все более мелких разбиениях, то получим выражение общего количества отданной грунтом воды в виде интеграла

Двойные (двукратные) интегралы впервые ввел в рассмотрение Эйлер. Кратные интегралы служат повседневно употребляемым средством в самых разнообразных расчетах и исследованиях.

Можно было бы показать, но это не входит в нашу задачу, что вычисление кратных интегралов, как правило, может быть сведено к повторному вычислению обыкновенных одномерных интегралов.