2.2. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ВЕЩЕСТВЕННОЙ СРЕДЕ

Вывод дифференциального уравнения распространения тепла основан на применении закона сохранения и превращения энергии. Для тепловых процессов этот закон выражается в виде первого начала термодинамики, которое для единицы объема движущейся среды можно записать в виде уравнения

Здесь — количество тепла, втекающего в единицу объема среды за единицу времени, — работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды за единицу времени, ; и — внутренняя энергия одного килограмма среды, Дж/кг; w — скорость движения (течения) среды, м/с.

Уравнение (2.2.1) выражает то обстоятельство, что изменение полной энергии тела, складывающееся в данном случае из его внутренней энергии и кинетической энергии , обусловлено количеством теплоты, подводимой к телу, и внешней работой, совершаемой над телом.

Поскольку рассматривается движение элемента потока жидкости, то работа в данном случае связана с изменением давления и внутренним трением текущей среды. Внутренняя энергия среды связана с ее энтальпией (теплосодержанием) уравнением

    (2.2.2)

Для совершенного газа . Воспользовавшись этими соотношениями, лолучаем

    (2.2.3)

Выделим в рассматриваемом теле объем V, ограниченный поверхностью F. Уравнение теплового баланса этого объема, отнесенное к единице времени, можно записать в виде

    (2.2.4)

Внутренние источники тепла могут возникать вследствие излучения, объемных химических реакций, радиоактивного распада вещества, прохождения электрического тока, работы трения и т. п. Первый член этого уравнения представляет собой изменение теплосодержания рассматриваемого объема; второй член — количество тепла, ушедшее через поверхность F путем теплопроводности; третий — количество тепла, выделенное внутренними источниками (если имеет знак минус, то в теле находятся стоки тепла).

Между потоком вектора через замкнутую поверхность F, ограничивающую объем V, и расходимостью (дивергенцией) вектора существует связь, выражаемая формулой Гаусса — Остроградского:

    (2.2.5)

Преобразование (2.2.5) справедливо, если в объеме V нет сильных разрывов функции. Спедовательно, в тепловой задаче это означает, что область V не должна включать границы раздела фаз. Вводя преобразование (2.2.5) в левую часть уравнения (2.2.4), находим

    (2.2.6)

В прямоугольных координатах

    (2.2.7)

Если принять гипотезу (2.1.2), то

    (2.2.8)

Тогда выражение (2.2.6) в прямоугольных координатах имеет вид

Подставляя это значение в уравнение (2.2.1) и принимая во внимание соотношение (2.2.3), получаем уравнение Фурье — Кирхгофа:

Это уравнение параболического типа, т. е. имеет нестационарные решения при бесконечно большой скорости распространения теплового возмущения. Реальная же скорость распространения теплового возмущения в вещественной среде имеет порядок не более средней скоростй теплового движения структурных частиц, а для излучения равна скорости распространения электромагнитных волн.

Однако во многих практических приложениях можно ограничиться уравнением распространения тепла в форме (2.2.10).

Оно содержит давление р, скорость течения среды w и плотность р. Следовательно, для общего решения задачи о теплообмене в движущейся вещественной среде к уравнению (2.2.10) необходимо присоединить еще уравнения, определяющие поле скоростей и связь между термодинамическими параметрами состояния среды. Такое замыкание системы дифференциальных уравнений теплообмена в движущейся вещественной среде достигается присоединением, к уравнению распространения тепла уравнений движения и сплошности потока жидкости и уравнения состояния.

Полные производные по времени от давления, теплосодержания, квадрата скорости и плотности являются функциями координат и времени, в связи с чем полный дифференциал любой из них:

    (2.2.11)

Отсюда

Величины представляют собой проекции вектора скорости течения среды на соответствующие координаты. Таким образом, рассматриваемая полная производная распадается на две с физической точки зрения разные части. Первый член правой части выражения (2.2.12) характеризует изменение данной величины, связанное с изменением поля этой величины во времени. Сумма остальных трех членов правой части выражения (2.2.12) характеризует изменение данной величины, происходящее в связи с перемещением рассматриваемого элемента среды из одной точки пространства в другую. Иначе говоря, частная производная представляет собой скорость изменения во времени в той точке пространства, в которой элементарный объем среды находится в данный момент времени, а сумма

представляет собой скорость изменения , обусловленного перемещением элементарного объема среды из точки со значением в точку со значением .

В связи с изложенным величина называется местным или локальным изменением, а величина — изменением перемещения или конвективным изменением. Для того чтобы подчеркнуть непосредственную связь производной с движущейся средой (субстанцией), ее обозначают специальным символом и называют субстанциональной производной:

    (2.2.14)

или, в векторной форме:

    (2.2.15)