7.5. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ВДОЛЬ СТЕРЖНЯ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
На рис. 7.2 изображена схема к задаче о теплопроводности вдоль стержня {прямого ребра). Одним торцом стержень плотно соединен с твердой поверхностью (трубы, корпуса двигателя и т.п.), имеющей температуру 
. Температура среды, окружающей стержень, равна 
. Коэффициент теплоотдачи от боковой поверхности стержня к среде обозначим через а, коэффициент теплоотдачи от свободного торца стержня к среде — через 
.
Вследствие возможного различия в температурах и условиях обтекания боковой и торцовой поверхностей стержня в общем случае 
. Далее предположим, что теплопроводность материала стержня достаточно велика, чтобы можно было считать температуру по его поперечному сечению практически неизменной. Собственно говоря, эта предпосылка равносильна утверждению, что вследствие большого отношения длины стержня к его понеречному размеру частные производные 
существенно меньше частной производной 
.
Рис. 7.2. Схема прямого ребра
Изменение количества тепла, протекающего через поперечное сечение стержня, составит 
. При установившемся процессе это тепло отдается за счет теплоотдачи через элемент боковой поверхности стержня 
, где Р — периметр стержня, 
— дифференциал криволинейной координаты, направленной по поверхности стержня вдоль оси х. Если толщина стержня 
, то 
Отсюда уравнение теплопередачи в стержне принимает вид
(7.5.1)
Знак минус в левой части этого уравнения взят потому, что при 
тепловой поток вдоль стержня уменьшается вследствие теплоотдачи с его боковой поверхности.
Рассматривая плоское ребро (площадь сечения и периметр стержня не меняются вдоль координаты 
, можем написать:
(7.5.2)
Температура вдоль стержня непрерывно меняется, причем максимально возможное ее изменение лежит в пределах от 
до 
. Нетрудно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (7.5.2), удовлетворяющее указанному характеру рассматриваемого физического процесса, может быть представлено в виде экспоненциальной функции
(7.5.3)
где С и m — постоянные.
Дифференцирование этого уравнения дает
(7.5.4)
Подставляя эти значения 
в уравнение (7.5.2), получаем
откуда
(7.5.5)
Следовательно, уравнению (7.5.2) удовлетворяют два частных решения типа (7.5.3). В одном решении показатель экспоненты положителен, а в другом — отрицателен. Как известно, общим решением рассматриваемого дифференциального уравнения является сумма его частных решений, т. е.
(7.5.6)
где m — положительное значение корня (7.5.5). Постоянные интегрирования 
определяются из граничных условий в начале и конце стрежня. При 
. При определении температуры на свободном торце стержня 
необходимо учесть, что количество тепла, передаваемого к этому торцу за счет теплопроводности вдоль стержня, отдается через поверхность торца в окружающую среду, т. е.
(7.5.7)
Из первого граничного условия имеем 
. Отсюда 
.
Используя условие (7.5.7), находим, что
кроме того,
Подставляя значения 
в уравнение (7.5.7) и вводя обозначение
(7.5.8)
получаем значение первой константы интегрирования:
Соответственно
Таким образом, окончательно получаем
(7.5.9)
(7.5.10)
Когда теплоотдача от свободного торца стержня мала или торец хорошо изолирован, можно положить 
. В этом случае 
и соответственно
(7.5.11)
(7.5.12)
Раскрывая значение 
, перепишем формулу (7.5.11) следующим образом:
При стержне бесконечной длины 
и
(7.5.13)
Последняя формула дает распределение температур вдоль стержня весьма большой длины по сравнению с его поперечным сечением (теоретически бесконечно длинный стержень).
Количество тепла, отдаваемое стержнем окружающей среде, равно количеству тепла, втекающему в стержень через его закрепленный торец:
(7.5.14)
Дифференцируя уравнение (7.5.9) и подставляя полученное значение dT/dx при х = 0 в уравнение (7.5.14), получаем:
а) теплоотдача стержня конечной длины
(7.5.15)
б) теплоотдача стержня с изолированным свободным торцом
(7.5.16)
в) теплоотдача стержня бесконечной длины
(7.5.17)
где m имеет положительное значение по формуле (7.5.5).
