4.2. УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Турбулентное течение характеризуется беспорядочным перемещением внутри потока отдельных объемов жидкости, существенно больших тех, к которым еще можно применить понятие дифференциального объема сплошной среды. Следовательно, общие уравнения гидродинамики приложимы и к турбулентному течению.

При этом необходимо тем или иным способом учесть статистическую природу турбулентности. Опыт показывает, что инерционные приборы (например, трубка Пито), помещенные в турбулентный поток, дают достаточно устойчивые во времени показания, т. е. значения скоростей и температур в турбулентном потоке за достаточно большой промежуток времени в среднем остаются постоянными. Таким образом, при установившемся осредненном движении потока его средняя за некоторый промежуток времени скорость течения w остается постоянной, истинные же (актуальные) скорости элементов потока непрерывно отклоняются от этого среднего значения как по величине, так и по направлению. Наблюдать эти отклонения можно с помощью термоанемометра, доплер-лазерного анемометра, электронного стробоскопа и других малоинерционных методов.

Актуальную скорость можно представить в виде суммы

    (4.2.1)

где w — вектор осредненной скорости в данной точке потока; V — вектор пульсационной составляющей истинной скорости, дающий отклонение этой скорости по величине и направлению от осредненного значения. Значение осредненной скорости потока в данной точке определяется интегралом

    (4.2.2)

где промежуток времени должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсации скорости, чтобы для различных промежутков времени результат осреднения был один и тот же. Отсюда очевидно, что

    (4.2.3)

поскольку за период все пульсационные составляющие скорости взаимно компенсируются.

Пульсации скорости вызывают в потоке также пульсации давления, температуры (в случае теплообмена), концентрации растворенного вещества (в случае диффузии) и т. п. Связь между пульсационными составляющими и осредненными значениями этих величин может быть определена по формулам того же типа, что приведенные выше выражения (4.2.1) и (4.2.2) для скорости течения.

Так как турбулентные пульсации согласно всем имеющимся наблюдениям не упорядочены, то, следовательно, осредненные характеристики турбулентного потока имеют статистическую природу, аналогично параметрам системы, состоящей из большого числа беспорядочно перемещающихся частиц, с тем, однако, принципиальным отличием, что сами элементы турбулентного потока не являются устойчивыми в пространстве и времени.

Обозначим пульсацию плотности через и пульсацию расхода через :

    (4.2.4)

Принимая во внимание уравнение сплошности (3.2.2), можно написать, что

Подставим эти значения проекций вектора в уравнения (3.3.3) и произведем по типу (4.2.2) операцию осреднения по времени величин, входящих в эти уравнения. Получим

    (4.2.6)

Аналогичные выражения могут быть составлены и для двух других проекций. Осредненное уравнение сплошности имеет вид

Далее, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осреднения.

1. Вторичное осреднение по той же переменной не изменяет значения, полученного после первого осреднения, т. е. если

    (4.2.8)

то

Последнее означает, что на отрезке величина может рассматриваться или как постоянная, или как линейная функция времени.

2. Осредненное произведение осредненного значения на актуальное значение равно произведению осредненных значений, т. е.

    (4.2.10)

3. В соответствии с равенством (4.2.3), если пульсационная составляющая величины есть Ф, то

    (4.2.11)

При этом значение существенно больше периода пульсации.

Принимая во внимание эти соотношения, находим

Соответственно

    (4-213)

Подставив эти выражения в уравнение (4.2.6) и приняв во внимание уравнение сплошности (4.2.7), получим уравнения осредненного движения сжимаемой жидкости в следующем виде:

    (4.2.14)

Пульсации расхода связаны с пульсациями плотности и скорости соотношениями вида

    (4.2.15)

Если плотность и вязкость жидкости остаются неизменными при изменении р и Т, то и уравнения (4.2.14) и (4.2.7) переходят в известные уравнения Рейнольдса:

Из этих уравнений видно, что в осредненном движении пульсации скорости вызывают появление членов, стоящих в квадратных скобках и аналогичных по смыслу членам вязкого трения. Они называются членами турбулентного трения и выражают потерю энергии в результате переноса количества движения значительными (молярными) объемами жидкости, перемещающимися вследствие пульсации скорости в потоке.

Нагляднее всего можно пояснить эту мысль на примере установившегося плоского потока, осредненное движение которого параллельно оси х, а скорость является функцией только координаты у. В этом случае из уравнений (4.2.16) следует, что

    (4.2.17)

Введя обозначение для турбулентных касательных напряжений

    (4.2.18)

и заметив, что

получим выражение для суммарных касательных напряжений

    (4.2.20)

Величина рассматривается при этом как некоторый коэффициент турбулентной «вязкости» и называется коэффициентом турбулентного переноса количества движения. Следует отчетливо представлять, что величина так же как и аналогичные ей коэффициенты турбулентного переноса теплоты и массы, о которых будет идти речь в дальнейшем, отнюдь не является неким физическим свойством текущей среды. Так, в потоке жидкости с постоянными р и величина зависит от абсолютного значения , числа Рейнольдса потока и координат. В развитом турбулентном потоке .

Можно показать, что степень турбулентности потока может быть оценена отношением среднеквадратичного значения пульсационной составляющей скорости и средней скорости — критерием Кармана:

    (4.2.21)