9.8. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ СТЕНКИ

Рассмотренные в гл. 4 осредненные уравнения движения и теплообмена в турбулентном потоке оказываются незамкнутыми, так как в них появляются члены, содержащие неизвестные величины пульсаций скорости и температуры. Длительное время не удавалось построить теорию, позволяющую вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту. В связи с этим широкое распространение получили так называемые полуэмпирические теории турбулентности, в основу которых положено предположение о том или ином виде связи между переносимой турбулентными пульсациями величиной (количество движения, количество теплоты, напряженность вихря и т. п.) и соответствующими осредненными параметрами потока.

Основы полуэмпирической теории турбулентности были заложены Прандтлем и Тэйлором.

Уравнение Рейнольдса показывает, что мерой интенсивности турбулентных пульсаций может являться величина . Особенно отчетливо это видно при рассмотрении области плоского потока, достаточно удаленной от твердой стенки. В этом случае и полное касательное напряжение практически равно . Тогда из формулы (4.2.18) следует, что

    (9.8.1)

Величина имеет размерность скорости и называется скоростью касательных напряжений или динамической скоростью.

Обычно в качестве характерного принимают значение этой величины на поверхности стенки:

    (9.8.2)

Рассмотрим соотношение между турбулентным и молекулярным трением, в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости без градиента давления Оно может зависеть только от абсолютного уровня касательных напряжений их распределения по толщине потока, расстояния от стенки и двух физических характеристик среды — плотности и молекулярной вязкости, т. е.

    (9.8.3)

где — толщина потока.

Из величин, находящихся под знаком функции, можно составить два безразмерных комплекса: относительное расстояние от стенки и число Рейнольдса, построенное по локальной скорости касательного напряжения и расстоянию от стенки:

    (9.8.4)

Таким образом, зависимость (9.8.3) можно представить в виде связи трех безразмерных величин:

    (9.8.5)

На некотором удалении от стенки, когда молекулярное трение практически перестает влиять на турбулентные пульсации скорости, функция должна принять форму, в которой отсутствует величина . Этому условию соответствует зависимость

    (9.8.6)

Если вблизи стенки меняется слабо, то в области (где — толщина слоя, в котором существенно проявляется молекулярное трение)

    (9.8.7)

Здесь — некоторая константа, характеризующая структуру турбулентного потока. Тогда

и поскольку при то окончательно

    (9.8.8)

Эта формула означает, что в ядре турбулентного пограничного слоя между пульсационными компонентами скорости течения существует корреляция:

    (9.8.9)

Формула (9.8.8) может быть обобщена введением некоторой характерной длины

    (9.8.10)

причем в области .

При таком обобщении формула (9.8.8) примет вид

    (9.8.11)

где введение модуля производной скорости по нормали к стенке обусловлено необходимостью сохранения знака касательного напряжения.

Формула (9.8.11) впервые была получена Тэйлором. Прандтль назвал величину длиной пути перемешивания. При этом он исходил из аналогии между турбулентным перемещением условных молей жидкости и движением молекул в газе.

В этой схеме величина является аналогом длины свободного пробега молекул. Такая схема, как выяснилось в дальнейшем, не является достаточной, поскольку в турбулентном потоке переносы в действительности осуществляются спектром пульсаций. Однако сама формула (9.8.8) оказалась весьма эффективной и, как это было показано выше, получается в качестве первого приближения из общих соображений о свойствах плоского турбулентного потока.

Во внешней части пограничного слоя имеет место условие

причем константы связаны друг с другом.

Рис. 9.2. Распределение коэффициента турбулентной вязкости по радиусу трубы в изотермическом потоке несжимаемой жидкости

На рис. 9.2 показаны изменения кинематического коэффициента турбулентной вязкости и длины пути перемешивания по радиусу гладкой трубы по опытам И. Никурадзе. При влияние молекулярного трения проявляется в некоторой степени во всей толще потока. При турбулентные характеристики потока практически не зависят от молекулярной вязкости среды.

Для пограничного слоя на пластине . При течении в трубе это значение примерно в два раза больше в связи с тем, что максимальный масштаб турбулентных пульсаций в этом случае имеет порядок двух толщин (радиусов) пограничного слоя. Около стенки действительно оправдывается формула (9.8.8), причем по этим опытам . При течении в шероховатых трубах на значительном удалении от выступов значение l такое же, как и при течении в гладких трубах с большими числами .

Тэйлор обратил внимание на то, что при отсутствии действия вязкости каждая частица жидкости может сохранять свою завихренность, в то время как возможно изменение ее количества движения под влиянием местных пульсаций давления. Если все существующие в течении вихри имеют оси, перпендикулярные к направлению осредненного течения и к направлению градиента осредненной скорости, то течение будет двумерным.

Введем в уравнение движения плоского невязкого пограничного слоя величину вихря

Получим

Осредняя это уравнение с введением пульсационнои составляющей вихря , получаем

    (9.8.15)

Отсюда следует, что

    (9.8.16)

и для равномерного вдоль оси х потока

    (9.8.17)

Осредненное напряжение вихря в каком-либо слое равно и, следовательно, при перемещении на длине пути перемешивания переносится избточная завихренность , т. е.

    (9.8.18)

Отсюда

    (9.8.19)

в то время как по Прандтлю

    (9.8.20)

Эти выражения совпадают только при независимости от у. Измерения распределения температур в следе за телом подтвердили правильность идеи Тэйлора.

На пространственные течения полуэмпирическая теория длины пути смешения Прандтля наиболее эффективно была перенесена Н. И. Булеевым. На других полуэмпирических теориях турбулентности мы здесь останавливаться не будем, отсылая читателя к литературе, названной в конце этой главы.

Укажем только, что М. А. Гольдштиком и автором значение константы было определено теоретически, исходя из теории максимальной квазиламинарной устойчивости турбулентности пограничного слоя. Эта теория позволила впервые вычислить и другие важнейшие характеристики плоского турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.