Невозможно получить указанные характеристики излучения, превышающие их значения, определяемые законом Планка. Это обстоятельство вытекает из второго закона термодинамики и составляет одно из основных положений теорий теплового излучения, устанавливающих связь между излучениями абсолютно черных и реальных тел.
Рассмотрим излучение в замкнутой полости, составленной из различных по материалу твердых тел, непрозрачных для тепловых лучей. Будем поддерживать стенки указанной полости при некоторой произвольной, но всюду одинаковой температуре. Благодаря непрерывно протекающим процессам излучения и поглощения тепла стенками в полости установится некоторое стационарное состояние, соответствующее устойчивому термодинамическому равновесию.
Последнее означает, что объемная плотность излучения, характеризуемая любым интервалом длин волн, всюду одинакова, а результирующий поток тепла на стенках для данной волны оказывается тождественно равным нулю. Под результирующим потоком будем понимать разницу между поглощенным и излученным количеством тепла в рассматриваемой точке.
Рис. 25.9. Зависимости нзлучательной способности неметаллов от направления излучения: 1 — грубый корунд; 2 — бумага; 3 — дерево; 4 — стекло; 5 — глина; 6 — тающий лед: 7 — окись меди
Следовательно, термодинамическое равновесие в замкнутой полости определяется температурой и не зависит от материала стзнок. Если бы плотность излучения в некотором интервале длин волн одного из тел замкнутой излучающей системы зависела не только от температуры, но и от материала, это могло бы привести к неустойчивому термодинамическому равновесию. Так как стенки полости поддерживаются при одинаковой температуре, то для установления лучистого равновесия в системе поверхность указанного тела должна была бы отдать или приобрести некоторое количество энергии, которое определяется зависимостью плотности излучения от материала тела. Эго привело бы к установлению неравномерного распределения объемной плотности излучения, появлению температурных перепадов и результирующего потока тепла.
При таких условиях излучающая система перешла бы в некоторое неустойчивое состояние без видимой затраты энергии, что находится в 
-ном противоречии со вторым началом термодинамики. Следовательно, сделанное предположение неверно, и, значит, характеристики излучения (яркость, плотность), соответствующие определенной температуре и длине волны, не зависят от материала тел.
Рассмотрим замкнутую излучающую систему тел, в которой установилось термодинамическое равновесие. Спектральная плотность лучистой энергии, падающей на поверхность тел, в общем случае является некоторой функцией от температуры полости и длины волны 
независимо от природы тел.
Этому потоку энергии в силу термодинамического равновесия соответствует лучистый поток, равный ему и противоположно направленный. Вводя коэффициент отражения от поверхности стенки, составим балансное уравнение потоков тепла
или 
. Если положить 
, где 
— поглощательная способность тела для монохроматического излучения, то
(25.4.1)
Для абсолютно черного тела 
, т. е. функция 
представляет собой характеристику излучения (плотность) абсолютно черного тела. Подставляя ее в выражение (25.4.1), получаем
(25.4.2)
т. е. отношение плотности монохроматического излучения тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и равно плотности монохроматического излучения абсолютно черного тела (закон Кирхгофа). Плотность монохроматического излучения тела может быть получена умножением спектральной плотности излучения абсолютно черного тела на поглощательную способность этого тела:
(25.4.3)
Проинтегрировав выражение (25.4.2) по 
в пределах от нуля до бесконечности, получим соотношение
(25.4.4)
представляющее собой закон Кирхгофа для интегрального излучения. Учитывая равенство (25.3.14), получаем выражение для интегральной плотности излучения
(25.4.5)
где интегральная поглощательная способность определяется как значение средней по спектру поглощательной способности:
(25.4.6)
Таким образом, процессы излучения и поглощения оказываются взаимосвязанными. Это в некоторой степени облегчает определение излучательных и поглощательных способностей тел. При этом следует иметь в виду, что закон Кирхгофа применим только к равновесным излучениям.
В случае существенных температурных градиентов в среде с взаимным облучением можно говорить лишь о приближенном характере закона Кирхгофа. В связи с этим исследование такой характеристики оптических свойств тела, как его интегральная поглощательная способность А, связано с необходимостью помимо данных о температуре исследуемого тела и его спектральных поглощательных способностях иметь подробную информацию о спектральном составе источника излучения (его температуре):
(25.4.7)
Эти Трудности исключаются из рассмотрения введением либо поглощательной способности по собственному излучению, либо понятия серого тела. Тела, поглощательные способности которых не зависят от длины волны и направления падающего луча, принято называть серыми. В этом случае интегральная и монохроматическая излучательные способности тождественно равны:
Значительное количество технических материалов близко по оптическим свойствам к серым телам. Как правило, это твердые тела, имеющие шероховатые или окисленные поверхности со сравнительно высокой поглощательной способностью. Поверхностные эффекты существенно искажают и тем самым затрудняют исследование оптических свойств, связанных с природой излучающего тела. В связи с этим последние определяются для тел с абсолютно гладкими поверхностями.
Рис. 25.10. Зависимость отражательной способности металлов от длины волны
Подобные исследования устанавливают зависимость излучательной (поглощательной) способности веществ от длины волны и температуры. Зависимость коэффициента Их от длины волны определяется из основных положений теории дисперсии и поглощения. Теоретические исследования функции 
весьма затруднительны и связаны с существенным усовершенствованием аппарата квантовой электродинамики. Этим объясняется разнообразие частных решений, связанное со структурой излучающего вещества и с диапазоном спектра. Для чистых металлов в далекой инфракрасной области хорошие результаты дает теоретическая формула Друде:
(25.4.8)
где 
— удельное электросопротивление, в первом приближении линейно зависящее от температуры. Как видно, излучательная способность металлов должна увеличиваться с ростом удельного электросопротивления и падать с увеличением длины волны. Формула (25.4.8) дает хорошие количественные результаты для многих металлов при 
мкм. Для более коротких длин волн следует пользоваться эмпирическим выражением Хагена и Рубенса
(25.4.9)
которое расширяет возможности применения решения Друде до 
.
На рис. 25.10 представлены результаты исследований отражательной способности 
ряда металлов при комнатной температуре, полученные из выражения (25.4.9). Количественные исследования поглощательных способностей диэлектриков базируются главным образом на известных формулах Френкеля и соотношениях классической электродинамики, связывающих оптические характеристики с коэффициентом преломления 
в веществе. Для поглощательной способности диэлектрика можно воспользоваться формулой
(25.4.10)
Зависимость 
от температуры определяется связью 
с изменением объема излучающего вещества вследствие температурного расширения. Это соображение, однако, не согласуется с фактом уменьшения суммарной поглощательной способности диэлектриков А при увеличении температуры (рис. 25.11). Можно предполагать, что такой характер температурной зависимости А(Т) связан со смещением максимума интенсивности излучения при повышении температуры по закону Вина в сторону коротких волн, где значения спектральных характеристик 
оказываются малыми.
Оптические свойства поликристаллических окислов, а также различного рода керамических материалов определяются не только химическим составом, но также плотностью, размером зерен, из которых они состоят, характером обработки и микрогеометрией поверхности.
Для практической оценки излучательной способности тел вводится безразмерный коэффициент, называемый степенью черноты (излучения). Степень черноты — отношение интенсивности собственного излучения тела при температуре Т на длине волны 
, и в направлении S к интенсивности излучения абсолютно черного тела при тех же условиях:
(25.4.11)
Иногда монохроматическая степень черноты определяется как отношение монохроматических плотностей полусферического излучения реального и абсолютно черного тел
(25.4.12)
По закону Кирхгофа
(25.4.13)
т. е. степень черноты равна поглощательной способности при температуре излучения. Для интегральной степени черноты
(25.4.14)
Интегральная степень черноты, подобно интегральной поглощательной способности, имеет сложную зависимость от температуры в связи с тем, что в числителе уравнения (25.4.14) под знаком интеграла помимо 
стоит монохроматическая степень черноты 
, также зависящая от температуры. Для серого тела 
или с учетом равенства (25.4.13)
(25.4.15)
Рис. 25.11. Зависимость поглощательной способности диэлектриков от температуры: 1 — резина; 2 — фарфор; 3 — бумага; 4 — шамот
Полусферическая плотность излучения серого тела определяется формулой
где 
называется коэффициентом излучения серого тела или просто коэффициентом излучения.
для некоторых тел в зависимости от направления излучения, характеризуемого углом 
. Как следует из рис. 25.8, при 
интенсивность излучения 
увеличивается и оказывается больше ее значения в нормальном направлении 
, определяемого по закону Ламберта. Эта особенность характерна для металлов, обладающих высокой электропроводностью. Для неметаллов (диэлектриков) (см. рис. 25.9) до 
закон Ламберта удовлетворяется хорошо. При 
интенсивность излучения уменьшается.
