Глава 26. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ В ПРОЗРАЧНЫХ И ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕДАХ

26.1. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ СИСТЕМЫ ТЕЛ, РАЗДЕЛЕННЫХ ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДОЙ

Рассмотрим лучистое взаимодействие непрозрачных тел, образующих замкнутую систему ограниченных размеров с произвольным и непрерывным распределением оптических характеристик и температур. Исследование теплообмена излучением обычно сводится либо к определению полусферических плотностей излучения на поверхностях лучеобменивающихся тел по заданным температурным распределениям (прямая задача), либо же к отысканию температур по значениям радиационных потоков (обратная задача). Возможны также смешанные постановки задач.

Рис. 26.1. Замкнутая система с диффузно излучающей поверхностью

Полусферическая плотность падающего излучения по уравнению (25.5.11) может быть представлена для наглядности в произвольной замкнутой излучающей системе (рис. 26.1) следующим образом:

    (26.1.1)

Здесь — интенсивность или яркость излучения, падающего на элементарную площадку с точкой М из направления S. Принимая во внимание диатермичность среды, замечаем, что . При диффузном излучении и отражении и, следовательно;

    (26.1.2)

Используя уравнение (25.6.5), можем написать выражение для элементарного углового коэффициента между площадками с фиксированной точкой М и текущей точкой в следующем виде:

Далее, введя обозначение

    (26.1.3)

таким образом, чтобы можно было записать

    (26.1.4)

представим уравнение (26.1.2) в форме

    (26.1.5)

Заметим, что является симметричной функцией элементарных площадок в двух точках. Поэтому

    (26.1.6)

Пусть в заданной замкнутой излучающей системе известно распределение полусферической плотности падающего излучения . Требуется определить , а следовательно, в соответствии с равенством (25.5.7) и распределение температур. В этом случае уравнение (26.1.5), где неизвестное стоит под знаком интеграла, представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода с симметричным ядром . Подставляя в равенство (25.5.7) значение из выражения (26.1.5), получаем

    (26.1.7)

т. е. неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, составленное относительно полусферической плотности эффективного излучения.

Если подставить в выражение (26.1.5) значение из равенства (25.5.7), то получим интегральное уравнение для плотности падающего излучения:

    (26.1.8)

Рис. 26.2. Замкнутая система с поверхностью, обладающей произвольной индикатрисой отражения

Несколько сложнее обстоит дело при рассмотрении теплообмена тел с произвольными индикатрисами отражения поверхностей (рис. 26.2). Г. Л. Поляк показал, что в этом случае интегральное уравнение (26.1.7) для полусферической плотности эффективного излучения запишется в следующем виде:

    (26.1.9)

где

Величина представляет собой коэффициент отражения поверхности элементарной площадки с точкой М при ее облучении в направлении S. В выражение (26.1.10) входит также коэффициент яркости , характеризующий отражение по направлениям. Физический смысл этого коэффициента становится ясным, если учесть, что

    (26.1.11)

Входящая в это выражение индикатриса полусферического отражения характеризует пространственное распределение излучения, отраженного от элементарной площадки с точкой М, т. е. вероятность того, что излучение, распространяющееся в направлении S, после отражения от площадки с точкой М находится внутри элементарного телесного угла с осью .

Интегрируя по всем направлениям в пределах , получим условие замкнутости

    (26.1.12)

Если излучающая система образована поверхностями с диффузным отражением, полусферическая индикатриса отражения , а коэффициент яркости . В этом случае интенсивность эффективного излучения и уравнение (26.1.9) вырождается в интегральное уравнение (26.1.7).

Запишем интегральное уравнение (26.1.8) для полусферической плотности падающего излучения в следующем виде:

Решение интегрального уравнения (26.1.13) методом последовательных приближений записывается в следующей форме:

    (26.1.14)

Здесь

    (26.1.15)

есть резольвента, или разрешающее ядро интегрального уравнения (26.1.13), где — итерация ядра в соответствии с ее определением.

    (26.1.16)

характеризует отражение по поверхности границ излучающей системы.

Решение (26.1.4) принято называть фундаментальным. Из него на основании классификации видов излучения могут быть получены решения для разнообразных видов излучения. Подставляя в выражение (26.1.14) значение из равенства (25.5.7), получаем уравнение, являющееся решением уравнения (26.1.7) для полусферической плотности эффективного излучения:

Аналогичным образом, с учетом выражения (25.5.8), для полусферической плотности результирующего излучения получим

Если излучающая система находится в состоянии термодинамического равновесия, то всюду на границе системы . Тогда из выражения (25.5.8) следует, что , а уравнение (26.1.18) после сокращения, на А(М) и вырождается в так называемое уравнение замкнутости

С его помощью уравнение (26.1.18) может быть записано более компактно:

Важно отметить, что в этом случае оказалось возможным выделить вопросы, связанные с определением оптико-геометрических инвариантов излучения в самостоятельную задачу. Бесконечный функциональный ряд (26.1.15), определяющий резольвенту , можно свести к интегральному уравнению

    (26.1.21)

или в силу инвариантности параметров подынтегрального выражения уравнение (26.1.21) можно записать как

    (26.1.22)

Таким образом, вся сложность рассматриваемой проблемы переносится на решение последних двух уравнений.