17.2. ТЕПЛООТДАЧА В ОБЛАСТИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ Pr>=1

Представленные на рис. 17.1 опытные данные показывают, что при основная область тепловых и гидродинамических возмущений при свободной конвекции действительно сосредоточена в относительно узком слое жидкости около поверхности теплообмена. Около вертикальной пластины такой пограничный слой будет плоским, а давление в каждом его горизонтальном сеченни равно гидростатическому давлению в невозмущенной области. Распределение температур и скоростей в таком пограничном слое определится системой уравнений (17.1.2), упрощенной в соответствии с общими соображениями, изложенными в гл. 9:

    (17.2.1)

Здесь координата х направлена вверх вдоль пластины, а координата нормали к пластине в глубь потока. Впервые эта задача была решена ди воздуха Лоренцем. В дальнейшем для случая постоянной температуры стенкя Польгаузен ввел новые переменные:

    (17.2.2)

Здесь — функция тока . Компоненты вектора скорости в этом случае равны:

Рис. 17.1. Распределение скоростей (а) и температур (б) в воздухе около нагретой вертикальной пластины. (Точки — экспериментальные данные Шмидта и Бекмана; сплошная линия — решение Польгаузена)

Подставляя эти значения в первые три уравнения системы (17.2.1), после соответствующих преобразований получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

где — безразмерная температура. Граничные условия принимают вид

Соответственно

Среднее значение коэффициента теплоотдачи по всей пластине

Эти уравнения решаются численными методами.

Для случая постоянного теплового потока аналогичным образом могут быть введены переменные:

    (17.2.7)

При этом

Результаты расчетов, выполненных Польгаузеном, Шу, Саундерсом, Грнггом и Сперроу, приведены в табл. 17.1.

Таблица 17.1. Результаты точного решения системы уравнений (17.2.1) для ламинарного пограничного слоя на вертикальной пластине при свободной конвекции в неограниченном объеме

Как видно, интенсивность теплоотдачи с поверхности пластины при постоянной плотности теплового потока примерно на 7% выше, чем в случае постоянной температуры, а упрощенная функциональная связь типа (17.1.5) выполняется отнюдь не точно. При этом в случае погрешность возрастает весьма значительно. Так, например, при изменении числа от 1 до 10 значение комплекса изменяется на 15%, а при изменении числа от 1 до 0,1 — на 27%.

В области , когда приближение пограничного слоя становится недействительным, опытные данные при удовлетворительно описываются эмпирической формулой М. А. Михеева:

    (17.2.8)

При начинает заметно сказываться форма тела. При этих значениях для тонких проволочек опытами найдено значение , хотя по модели чистой теплопроводности для цилиндра и пластины при . Для шара минимальное значение , как известно из предыдущих глав, равно 2.

Физические свойства в рассмотренных формулах рекомендуется относить к средней расчетной температуре, равной .