26.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ

При исследовании теплообмена излучением в системах произвольной конфигурации необходим переход к интегральным уравнениям излучения. Полагая плотность объемного эффективного излучения известной функцией точки записываем решение уравнения (26.5.9) в следующем виде:

    (26.6.1)

Здесь и — оптические толщины сред:

Рис. 26.9. К переносу излучения в поглощающей среде произвольной конфигурации

Первый член справа в уравнении (26.6.1) представляет собой долю лучистой энергии, посылаемой граничной поверхностью системы за счет собственного и отраженного излучений в элементарный объем с точкой М. При этом ослабление излучения промежуточной средой учитывается коэффициентом лучепрозрачности . Второй, интегральный, член учитывает собственное и рассеянное излучение среды, приходящее в объем с точкой М (рис. 26.9). Взаимное экранирование учитывается коэффициентом лучепрозрачности . Вывод интегральных уравнений излучения, описывающих переносы излучения в поглощающих и рассеивающих средах произвольных конфигураций, сводится к совместному рассмотрению классификации видов излучения и решения уравнения переноса энергии излучения (26.6.1). Для получения интегральных уравнений относительно плотностей полусферических излучений воспользуемся выражениями (25.5.7) и (25.5.11) соответственно для плотностей эффективного и падающего излучений и составим интегральное уравнение следующего вида:

    (26.6.3)

Для учета процессов, происходящих в поглощающей среде, подставим сюда выражение для интенсивности излучения согласно уравнению (26.6.1).

Вводя при этом обозначения:

    (26.6.4)

а также сворачивая двойной интеграл по поверхности и лучу S в один интеграл по объему V среды, с учетом диффузности излучения границ получаем:

    (26.6.5)

С помощью выражения (25.5.7) уравнение (26.6.5), записанное для нерассеивающей серой среды , может быть преобразовано к интегральному уравнению относительно плотности падающего излучения :

    (26.6.6)

Вывод интегральных уравнений излучения относительно плотностей потоков объемного излучения основан на совместном рассмотрении выражений (25.5.14) и (25.5.19) либо (26.5.9) (если среда рассеивает излучение произвольным образом), в которых учитывается значение согласно уравнению (26.6.1). Вводя обозначения

    (26.6.7)

и осуществляя преобразования, аналогичные тем, которые проводились при выводе уравнения (26.6.5), применительно к изотропной среде и диффузно излучающим граничным поверхностям получаем интегральное уравнение относительно плотности сферического или объемного эффективного излучения при условии задания на границах излучающей системы значений ,

    (26.6.8)

Воспользовавшись соотношением (25.5.14), уравнение (26.6.8) преобразуем в интегральное уравнение относительно плотности объемного падающего излучения и запишем его для случая серой поглощающей среды :

    (26.6.9)

Сопоставляя интегральное уравнение (26.6.9) с уравнением (26.6.6), отмечаем помимо наличия формальной аналогии их тесную взаимосвязь. Это свидетельствует о том, что при исследовании теплообмена излучением в замкнутых излучающих системах, заполненных поглощающей (и рассеивающей) средой с известными полями температур и оптических констант, задача сводится к рассмотрению системы двух интегральных уравнений, составленных относительно плотностей полусферического и объемного излучений.

Запишем интегральное уравнение (26.6.6) в следующем виде:

    (26.6.10)

где

    (26.6.11)

Подобно (26.1.13), уравнение (26.6.10) является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Следуя Ю. А. Сурикову, решаем его методом итераций:

    (26.6.12)

Здесь — резольвента ядра , определяемая с помощью соотношений вида (26.1.15) или (26.1.22), в которых экранирующий эффект среды учитывается в соответствии с определением согласно уравнению (26.6.4).

Подставляя F(М) в уравнение (26.6.12) и преобразовывая его, получаем решение для в следующем виде:

    (26.6.13)

где

    (26.6.14)

Решается интегральное уравнение (26.6.9) элементарно, так как в данном случае совместное рассмотрение интегральных уравнений для полусферических и объемных излучений сводится к простой подстановке в уравнение (26.6.9) решения для . В результате такой подстановки получаем

    (26.6.15)

где

    (26.6.16)

    (26.6.17)

Воспользовавшись выражениями (25.5.8) и (25.5.15), связывающими результирующие и падающие излучения, и подставляя в них значения из уравнений (26.6.13) и (26.6.15), получаем соответственно:

    (26.6.18)

    (26.6.19)

Полученные результаты составляют главное содержание теории теплового переноса излучением. В случае соленоидального поля излучения результирующий перенос тепла тождественно равен нулю. В общем случае, когда помимо излучения в теплообмене участвуют и другие виды переноса тепла (теплопроводность, конвекция и др.), под результирующим потоком следует понимать суммарное значение энергии в рассматриваемой точке среды. Такие процессы описываются нелинейным интегро-дифференциальным уравнением энергии, решение которого для конкретных приложений представляет большие трудности математического характера. Поэтому широкое распространение получили приближенные методы, связанные обычно с приближенными представлениями уравнений переноса энергии (дифференциальные методы) или интегральных уравнений излучения (зональный метод). При этом особое внимание приходится уделять оптическим свойствам сред.