Глава 8. НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ БЕЗ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ

8.1. УРАВНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

При отсутствии внутренних источников тепла уравнение теплопроводности (2.3.6) принимает вид

    (8.1.1)

Вводя безразмерные координаты где — начальный температурный напор; — характерный линейный размер тела, приводим уравнение (8.1.1) к виду

    (8.1.2)

Из этого уравнения видно, что безразмерная температура является функцией критерия Фурье

    (8.1.3)

т. е. сходственные времена пропорциональны квадрату линейного масштаба гела и обратно пропорциональны коэффициенту диффузии тепла.

Среди практических задач о нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к тепловому равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения. К первой группе относятся процессы прогрева и охлаждения тел, помещенных в среду с некоторым заданным тепловым состоянием, например прогрев болванки в печи, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например тепловой процесс регенераторов, кладка которых периодически то нагревается дымовыми газами, то охлаждается воздухом, который сам при этом подогревается. В этом случае процесс периодического колебания температуры и теплового потока называют тепловыми волнами.

Проблема решения уравнения (8.1.1) является чисто математической. Специальные физические соображения приходится привлекать только при задании соответствующих начальных и граничных условий. Однако в огромном числе практически важных задач и эта проблема, по существу, снимается возможностью принять температуру тела в начальный момент времени одинаковой во всех его точках. Температуру на поверхности тела обычно можно считать или постоянной за время протекания процесса, или зависящей от постоянного коэффициента теплоотдачи и меняющейся по заданному закону температуры окружающей среды (последнюю также во многих случаях можно считать постоянной).

Аналитический метод решения уравнения теплопроводности (8.1.1) первоначально был развит в работах Фурье и в дальнейшем нашел широкое применение в самых разнообразных областях математической физики. Метод Фурье применительно к фундаментальным задачам теории теплопроводности был подробно разработан Г. Гребером, Г. Карслоу, А. В. Лыковым, А. Н. Тихоновым и другими исследователями.

Широкое применение в решении сложных задач теории теплопроводности нашли операционные методы. Определяя Т через функцию можно привести уравнение (8.1.1) к виду

    (8.1.4)

где .

Однако в задачах нестационарной теплопроводности введение функции U не дает такого общего результата, как в задачах о стационарном температурном поле. Некоторые частные решения уравнения (8.1.4) были исследованы К. И. Страховичем.

В рамках данной книги мы ограничимся рассмотрением нескольких наиболее распространенных задач нестационарной теплопроводности с целью выявления общих физических особенностей такого рода процессов. Для более детального ознакомления с этой проблемой следует обратиться к специальной литературе по теории теплопроводности, среди которой наиболее подробными являются монографии Г. Карслоу и Д. Егера и А. В. Лыкова.