26.9. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЫ

В ряде практически важных случаев представляется возможным воспользоваться результатами строгих аналитических подходов, изложенных выше. Проиллюстрируем это на примере переноса излучения в плоском слое поглощающей среды.

Подобная постановка задачи является фундаментальной в широком классе задач, посвященных проблемам переноса. Рассмотрим перенос тепла в плоском слое серой поглощающей среды, образованном плоскопараллельными диффузно излучающими и отражающими поверхностями.

Задача сводится к определению плотности результирующего теплового потока по заданному температурному распределению и температурного распределения в слое по заданным значениям плотности объемного результирующего излучения и температур граничных поверхностей. Для этого воспользуемся уравнениями (26.6.18) и .

Преобразуем указанные интегральные уравнения применительно к рассматриваемым условиям. Эти преобразования сводятся к элементарному учету геометрических особенностей излучающей системы (рис. 26.16). В частности, принимаем во внимание невогнутость поверхностей , составляющих общую поверхность в связи с чем при анализе соответствующих разрешающих угловых коэффициентов излучения полагаем . (Здесь — промежуточные точки отражения по поверхностям соответственно.)

Кроме того, принимаем во внимание, что отражающими являются лишь граничные, образующие замкнутую систему поверхности.

Рис. 26.16. Схема плоского слоя серой поглощающей среды

Воспользовавшись выражениями (26.6.16) и (26.6.17), Н. А. Рубцов показал, что интегральные члены уравнения (26.6.19) могут быть представлены в явном виде с помощью элементарных оптико-геометрических параметров, определяемых согласно уравнениям (26.6.4) и (26.6.7) и преобразуемых с использованием так называемого экспоненциального интеграла весьма характерного для описания переносов произвольной субстанции:

    (26.9.1)

Воспользовавшись понятиями оптической глубины А и толщины слоя

    (26.9.2)

после ряда несложных преобразований уравнение (26.6.19) можно записать применительно к случаю, когда являются оптически однородными изотермическими зонами, следующим образом:

    (26.9.3)

Здесь

Очевидно, выражение для плотности полусферического результирующего излучения может быть получено из уравнения (26.9.3) путем его почленного интегрирования по :

    (26.9.7)

Здесь

Если излучающая система находится в состоянии термодинамического равновесия, то уравнения (26.9.3) и (26.9.7) вырождаются соответственно в интегральные уравнения замкнутости:

    (26.9.11)

Воспользовавшись уравнениями (26.9.11), представим интегральные уравнения (26.9.7) и (26.9.3) в безразмерном виде:

    (26.9.12)

    (26.9.13)

где

Уравнения (26.9.12) и (26.9.13) могут быть использованы в общем случае при исследовании переноса тепла в плоском слое теплопроводной и движущейся среды. В частном случае, когда рассматривается только излучение (соленои-дальное поле), плотность полусферического результирующего излучения в слое постоянна, а ее производная по , т. е. плотность объемного результирующего излучения, тождественно равна нулю. В связи с этим задача сводится к совместному рассмотрению следующих интегральных уравнений:

    (26.9.14)

    (26.9.15)

где

При этом определение сводится к взятию соответствующих квадратур после подстановки . Используя линейную аппроксимацию распределения по толщине слоя

    (26.9.17)

где — функции температурных распределений в околостенных областях соответственно при , легко получить в первом приближении решение (26.9.14) применительно к случаю, когда граничные поверхности являются абсолютно черными. Это решение имеет следующий вид:

Распределение толщине слоя излучающего газа (рис. 26.17) для построенное по уравнению (26.9.18) хорошо (с погрешностью <3%) согласуется с численным решением. Следует отметить наличие характерных скачков в пристенных областях. Указанные температурные скачки объясняются идеализацией процесса переноса тепла излучением, исключающей из рассмотрения молекулярную теплопроводность. В условиях оптической симметрии, когда , функция температурного распределения обладает характерной симметрией относительно для диатермической среды .

В общем случае эта симметрия нарушается, и область пересечения при при произвольном h перемещается в сторону поверхности с высоким значением коэффициента, характеризующего излучательную способность стенки. Определение безразмерного потока производим согласно уравнению (26.9.14), которое при имеет вид

    (26.9.19)

Рис. 26.17. Распределение температурной функции по толщине слоя излучающего газа

Рис. 26.18. Зависимость безразмерного потока излучения от оптической толщины излучающего слоя газов: 1 — по формуле (26.9.20); 2 — по формуле (26.9.21) при

Для определения интеграла в правой части этого уравнения воспользуемся линейным приближением решения согласно выражению (26.9.18). После некоторых преобразований получаем выражение для в форме сравнительно простого соотношения:

    (26.9.20)

Результаты расчетов по этой формуле (рис. 26.18) практически совпадают с численным решением задачи, а также аналитическим решением В. Н. Адрианова и Г. Л. Поляка, основанным на непосредственном применении уравнения переноса радиационной энергии (дифференциальный метод). На рис. 26.18 дается также зависимость , построенная по приближенному выражению

    (26.9.21)

при . Формула (26.9.21) выводится сравнительно просто на основании использования упрощенного градиентного представления для вектора излучения (26.5.33). Она удовлетворительно согласуется с решением (26.9.20) и успешно применяется в практических расчетах.