9.14. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА

При очень больших числах Рейнольдса турбулентный пограничный слой обладает некоторыми замечательными свойствами. В частности, при отношения выражаются теоретическими зависимостями, не содержащими в себе констант турбулентности. Здесь — значения коэффициента трения и числа Стентона при обтекании непроницаемой пластины неограниченным, изотермическим, турбулентным пограничным слоем.

Введем в формулу (9.8.8) значение из уравнения (9.12.1) и представим полученное уравнение в следующем виде:

    (9.14.1)

Здесь — коэффициент, учитывающий влияние пульсаций плотности, — закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению пограничного слоя.

С другой стороны, можно написать

    (9.14.2)

где — плотность потока вне динамического пограничного слоя.

Разделим обе части уравнения (9.14.1) на произведение , где - закон распределения касательных напряжений на непроницаемой пластине, обтекаемой изотермическим пограничным слоем. Проинтегрировав это уравнение, получим

    (9.14.3)

Здесь — относительное изменение коэффициента трения при сопоставлении для условий — безразмерная скорость на границе вязкого подслоя;

где — безразмерная толщина вязкого подслоя.

Величины и однозначно связаны друг с другом через уравнения движения и теплопроводности в вязком лодслое. Поэтому для их вычисления достаточно знать температурные функции и условие устойчивости вязкого подслоя, определяющее величину . Отсутствие строгого определения последнего и составляет основную трудность решения уравнения (9.14.3) в области конечных чисел Рейнольдса.

Следует обратить также особое внимание на определение числа Рейнольдса, при котором производится сопоставление истинного коэффициента трения с эталонным (стандартным) . Поскольку величины и определяются вполне стандартным образом для любого пограничного слоя, то неоднозначность выбора величины связана с отнесением входящих в нее физических характеристик потока и , к той или иной характерной температуре. Наиболее определенными, очевидно, являются или величина , или величина .

Поскольку в общем случае имеют место зависимости

    (9.14.5)

    (9.14.6)

что непосредственно следует из уравнений движения и теплопроводности вязкого подслоя и условия его устойчивости (например, из оценки по значению , то единственным требованием является одинаковое определение величины при определении и .

Известный произвол в определении в настоящее время имеется только вследствие отсутствия достаточно хорошего теоретического определения функций (9.14.6). Мы в качестве основного определения примем в значение кинематической вязкости при температуре . Эти трудности снимаются при переходе к числам так как с ростом числа Рейнольдса его влияние на значения коэффициентов трения, тепло- и массообмена в турбулентном потоке все больше уменьшается. В качестве эталона при определении F естественно выбрать наиболее простое течение, каковым является продольное обтекание гладкой непроницаемой пластину потоком изотермической несжимаемой жидкости Для этих условий

    (9.14.7)

Здесь — относительная толщина потери импульса. Учитывая эти зависимости, формулу (9.14.4) можно записать в виде

Рассмотрим свойства интегралов (9.14.5) и (9.14.8) при очень больших числах Рейнольдса. Последнее отнюдь не означает, что речь идет о больших скоростях течения или значительной протяженности обтекаемых потоком тел. Сколь угодно большие числа Рейнольдса могут иметь место при вполне конечных скоростях течения и малых толщинах пограничного слоя, если рассматривать жидкость с «исчезающей вязкостью», т. е. когда коэффициент вязкости стремится к нулю, но строго в нуль не обращается.

Из формулы (9.13.3) следует, что , а из уравнения (9.12.1), что

Полагая далее

получаем

    (9.14.10)

Поскольку при обтекании гладкой поверхности коэффициент трения с ростом числа Рейнольдса стремится к нулю, из этих оценок следует, что в потоке с «исчезающей вязкостью» имеют место условия

    (9.14.11)

т. е. происходит вырождение вязкого подслоя и пульсаций плотности. Соответственно при из выражения (9.14.3) следует, что

    (9.14.12)

где

    (9.14.13)

Из выясненных ранее свойств турбулентного пограничного слоя следует, что

Кроме того, по своей физической природе зависимости являются непрерывными и гладкими. Поэтому подынтегральные функции в уравнении (9.14.12) можно аппроксимировать полиномом вида

    (9.14.15)

в котором на интервале

    (9.14.16)

Вводя значение из уравнения (9.14.15) в уравнение (9.14.13), находим,

    (9.14.17)

Таким образом, при в интегральном соотношении (9.14.8) выпадают члены, содержащие коэффициенты которые в общем случае зависят от возмущающих факторов.

При течении без градиента давления из формулы (9.13.5) следует

    (9.14.18)

Из логарифмического профиля скоростей следует, что при

т. е. второй член формулы (9.14.18) — число ограниченное и

    (9.14.19)

Таким образом, при весьма больших числах Рейнольдса существует предельный относительный закон трения, выражаемый интегральным соотношением Кутателадзе—Леонтьева:

    (9.14.20)

Для течения без градиента давления это соотношение принимает вид

Отношение в этом интеграле легко определяется в соответствии с соображениями, изложенными в разд. 9.6. Отношение связано с отношением через уравнение состояния. Для совершенного газа, поскольку в пограничном слое .

При наличии приближенного подобия полей скоростей и энтальпий торможения можем записать:

    (9.14.22)

Здесь — так называемый первый температурный фактор; — кинетический температурный фактор; — фактор теплообмена; — коэффициент неподобия полей температур и скоростей.

Более подробно о величинах будет сказано в последующих главах. Значение в первом приближении равно отношению где — показатель степени профиля скоростей. В случае обтекания пластины газом при условии, что и динамический, и тепловой слой развиваются с ее передней кромки, .

Аналогично уравнению (9.14.3) из формулы (9.9.2) следует относительный закон теплообмена

    (9.14.23)

где

(9.14.24)

здесь — относительная плотность теплового потока в точке — число Стентона; — коэффициент неподобия тепловой и гидродинамической длин пути смешивания. Свойства величин аналогичны свойствам , т. е. при

    (9.14.25)

При этом, естественно, в последнем уравнении распределения скорости и температуры нужно брать для условий турбулентного течения с вырожденным вязким подслоем.

Предельные законы теплообмена в своей общей формулировке сложнее законов трения. Поэтому при значительных нарушениях подобия температур и скоростей функции и могут существенно различаться.

Так, например, в области диффузорного течения турбулентного пограничного слоя с постоянными физическими свойствами значение ? может быть существенно меньше единицы при любых числах Рейнольдса, в то время как значение при конечных числах Рейнольдса пограничного слоя почти не меняется с ростом градиента давления.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бетчелор Д. Теория однородной турбулентности. М., Изд-во иностр. лит., 1955.

2. Булеев Н. И. Теоретическая модель механизма турбулентного теплообмена в потоках жидкости.— В сб.: Теплопередача. М., Изд-во АН СССР, 1962, с. 64.

3. Кутателадзе С. С. Пристенная турбулентность. Новосибирск. «Наука», 1973.

4. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1958.

5. Монни А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика, ч. I. М., «Наука. 1965; ч. 2. М., «Наука». 1967.

6. Проблемы турбулентности. Сборник пер. статей. М.— Л., ОНТИ, 1936. Авт.: О Рейнольдс. Л. Прандтль, К. Тейлор. Т. Карман и др.

7. Ротта И. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Пер. с англ. Л., «Судосгроение» 1967.

8. Таунсенд А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1959.

9. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Пер. с нем. М., «Наука», 1969.