23.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОГАЗОДИНАМИКИ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ
Одной из важных областей приложения электромагнитной гидродинамики являются процессы течения и теплообмена в генераторах низкотемпературной плазмы — электродуговых плазмотронах. Главной особенностью этих течений является наличие значительных градиентов температуры (на оси канала плазмотрона 
, а на стенке 
и зависящих от температуры свойств среды. Вследствие этого в уравнениях, описывающих такие течения, вязкость и плотность входят под знак оператора, а переменная плотность определяется уравнением состояния:
(23.4.1)
(23.4.2)
(23.4.3)
(23.4.4)
(23.4.5)
(23.4.6)
(23.4.7)
(23.4.8)
где E — напряженность электрического поля; 
— плотность потока излучения в приближении оптически тонкого слоя.
Уравнение (23.4.8) есть простейшая форма закона Ома. Мерой отношения индуцированной плотности тока 
к полной плотности тока является 
. В электродуговых течениях обычно 
, поэтому закон Ома записывается в виде
(23.4.9)
Отношение кинетической энергии течения к теплосодержанию имеет порядок 
, где М — число Маха—Маиевского. Отношение работы сил внутреннего трения к энергии, отводимой теплопроводностью, имеет порядок 
. Таким образом, в тех случаях, когда число М потока в плазмотроне достаточно мало (это часто имеет место), кинетической энергией и работой сил трения можно пренебречь, точно так же, как и работой сил тяжести.
Тогда уравнение энергии запишется в виде
(23.4.10)
Простейшим примером течения в электродуговом плазмотроне является стационарное установившееся ламинарное течение неизлучающего газа в круглой трубе. В этом случае уравнения (23.4.10) и (23.4.7) принимают вид
(23.4.11)
Меккер решал это уравнение путем введения функции 
и приближенного представления о (S) в виде кусочно-линейной зависимости:
(23.4.12)
где 
— некоторое граничное значение 
. Зависимость (23.4.12) разбивает канал плазмотрона на две области: электропроводную 
около оси и неэлектропроводную 
прилежащую к стенкам трубы. В электропроводной области решением уравнения (23.4.11) является функция Бесселя нулевого порядка
(23.4.13)
где 
— значения 
и 
на оси. Граница электропроводной зоны 
, определяется первым нулем функции 
:
(23.4.14)
Из решения уравнения теплопроводности в неэлектропроводной зоне в предположении, что на стенке трубы 
находят соотношение между напряженностью электрического поля и 
:
(23.4.15)
После подстановки решения (23.4.14) в уравнение полного тока
(23.4.16)
можно получить еще одно соотношение:
(23.4.17)
Уравнения (23.4.15) и (23.4.17) позволяют по известной зависимости 
от 
определить вольт-амперную характеристику дуги, т. е. функцию 
где L — длина трубы.
Решение уравнения энергии (23.4.11) позволяет найти распределение температуры и других свойств среды по радиусу трубы, что дает возможность определить профиль скорости из уравнения движения
(23.4.18)
где перепад давления задан, и коэффициент трения из условия сохранения расхода
(23.4.19)
где индексом 0 отмечены параметры «холодного» потока — на входе в канал. Результаты решения:
(23.4.21)
Здесь 
.
На рис. 23.11 приведены результаты численного расчета профиля скорости для воздуха, проведенного Вебером. Видно, что с ростом температуры газа на оси профиль скорости в приосевой зоне становится более заостренным. Коэффициент трения, как показывает анализ уравнения (25.4.21), с ростом температуры потока увеличивается.
Рассмотрим турбулентное установившееся течение в круглой трубе, следуя работе Б. А. Урюкова и полагая, что коэффициенты турбулентной вязкости и теплопроводности определяются обычной формулой Прандтля.
Рис. 23.11. Профиль скорости ламинарного течения в плазмотроне (
см) при различных осевых температурах
Рис. 23.12. Профиль скорости турбулентного течения в плазмотроне при различных осевых температурах и числах Рейнольдса
Рис. 23.13. Профиль теплосодержания турбулентного течения в плазмотроне при различных осевых температурах и числах Рейнольдса
На рис. 23.12 и 23.13 показаны результаты численного расчета профилей скорости и теплосодержания воздушной плазмы при различных числах Рейнольдса и осевых температурах. Форма профиля скорости в основном определяется числом Рейнольдса, а профиль теплосодержания — значением осевой температуры (т. е. силой тока).
