8.8. ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ

В ряде процессов, происходящих в аппаратах, в частности в двигателях, совершается периодическое повторение рабочего цикла, в продолжение которого температура рабочей среды и корпуса двигателя меняется по определенному закону. При этом имеет место периодическое изменение температурного поля. Закон этого изменения уже не зависит от начального состояния системы, а определяется периодической функцией времени.

На рис. 8.9 представлены температурные графики различного рода периодически повторяющихся тепловых процессов. Периодическую функцию можно представить с помощью гармонического анализа в виде суммы различных косинусоид.

Начальное состояние тела в рассматриваемом случае уже не имеет значения, так как предполагается, что периодический процесс совершается достаточно длительное время, т. е. состоит из большого числг отдельных периодов (циклов).

При периодически меняющейся температуре на поверхности тела общий интеграл уравнения теплопроводности можно также разыскивать в виде произведена двух функций (8.2.1). Однако в этом случае уже нельзя представлять в виде экспоненциальной функции с вещественным коэффициентом . Необходимо выбрать такую функцию, которая изображал бы периодическое изменение температурру во всех точках рассматриваемого тела. Такому требованию удовлетворяет функци

где .

Рис. 8.9. Температурные графики некоторых периодических процессов: а — сложный гармонический; б — синусоидальный; в — треугольный; г — пилообразный; д — цилиндр (ступенчатый)

Соответствующая подстановка (8.8.1) в основное уравнение (8.1.1) приводит к уравнению

определяющему вид функции координат

Рассмотрим, следуя Г. Греберу, полуограниченное пространство, температура на поверхности которого под внешним воздействием претерпевает периодические гармонические колебания около нулевого значения.

Воспользовавшись известным преобразованием перепишем уравнение (8.8.2) в следующем виде:

С помощью формулы частное решение уравнения теплопроводности, содержащее функцию времени в виде зависимости (8.8.1), приводится к сумме действительной и мнимой частей

где

При экспоненте оставлен только знак минус, так как при положительном показателе степени колебания температуры возрастали бы по мере увеличения х, что физически невозможно.

Пусть температура на поверхности тела меняется по закону

    (8.8.6)

где — максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности тела; — продолжительность периода колебания. Тогда постоянные интегрирования равны: и

    (8.8.7)

Таким образом, возникает семейство тепловых волн с длиной порядка . Тепловой поток через поверхность тела

    (8.8.8)

При интегрировании этого уравнения за полный период результирующий тепловой поток равен нулю. Интегрирование за полупериод дает выражение

    (8.8.9)

Это количество теплоты, которое за один полупериод аккумулируется телом, а во втором полупериоде отдается им окружающей среде.

Весьма подробно такого рода процессы рассмотрены в монографиях Гребера, Карслоу, А. В. Лыкова. Процессы нестационарной теплопроводности при перемещающихся поверхностных источниках тепла (что важно знать, например, в процессах сварки) рассмотрены в работе Н. Н. Рыкалина.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1958.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Пер. с англ. М., «Наука», 1964.

3. Любимова Е. А. Термина Земли и Луны. М., «Наука», 1968.

4. Кондратьев Г. М. Регулярный тепловой режим. М., Гостехтеориздат, 1954.

5. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., Гостехтеориздат, 1952.

6. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М., «Высшая школа», 1967.

7. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л., «Энергия», 1976.

8. Рыкалин Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. М., Машгиз, 1951.

9. Страхович К. И. Некоторые задачи теплопроводности в твердых телах с переменными теплофизическими характеристиками. — «Инж.-физ. жури.», 1958, № 3, с. 3.