9.11. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ ВБЛИЗИ СТЕНКИ

Введя в уравнение (4.2.20) выражение из соотношения (9.8.8), получим

При этом в области вязкого подслоя ) .

В переменных уравнения для касательных напряжений примут вид (при ):

в области где ,

    (9.11.2)

в области

    (9.11.3)

Здесь и далее под величиной понимается динамическая скорость на стенке. Из условия монотонности профиля скоростей следует, что

    (9.11.4)

Если принять во внимание, что и, следовательно, в области , то из выражения (9.11.3) следует, что при

    (9.11.5)

Из уравнения (9.1.3) следует, что при

где в соответствии с выражением .

Рассмотрим область значений , в которой достаточно точно выполняется зависимость (9.8.7) и условие . В этом случае уравнение (9.11.3) принимает вид

а его интеграл равен

    (9.11.8)

Если условно профиль (9.11.5) распространить до , то . На рис. 9.6 в полулогарифмических координатах изображен профиль скоростей в плоском турбулентном потоке несжимаемой жидкости по ряду экспериментальных данных. По этим данным . Логарифмический профиль скоростей (9.11.8) практически существует почти до оси симметрии при течении в замкнутом канале и нарушается во внешней области пограничного слоя.

Обычно логарифмический профиль скорости удобно записывать в форме

    (9.11.9)

Из что при дает значение .

Для приближенной оценки характера изменения скорости потока в области между вязким подслоем и турбулентным ядром можно, например, принять допущение о том, что турбулентное трение на границе вязкого подслоя равно нулю.

Рис. 9.6. Закон распределения скоростей в турбулентном потоке несжимаемой жидкости

Наиболее простое выражение для турбулентных касательных напряжений, удовлетворяющее этому требованию и условию, что при имеет вид

    (9.11.10)

чему соответствует значение

Подставляя это значение в уравнение (9.11.6) и интегрируя его при , получаем

    (9.11.12)

При это уравнение переходит в (9.11.9), причем . По этой формуле приведенным выше экспериментальным значениям и С соответствует значение . Формула (9.11.12) дает несколько более крутое изменение скорости в промежуточном слое турбулентного потока, чем это следует из опытов.

Рядом авторов (Ван-Дрист, Дейслер, Рейхардт, Левич, Лойцянский) были предложены полуэмпирические и эмпирические зависимости для определения профиля скоростей в турбулентном пограничном слое. Однако для области совместного действия молекулярной и турбулентной вязкости они или имеют весьма сложный и неудобный для дальнейших операций вид, или авторы разбивают профиль на значительное число отдельных участков.

Практически, как предложил в свое время Карман, достаточно разбить пограничный слой на три зоны, две из которых аппроксимируются логарифмическими формулами. С расчетной точки зрения в ряде случаев бывает удобным заменить универсальный закон распределения скоростей в турбулентном потоке простым степенным выражением типа

    (9.11.13)

При этом логарифмический профиль скоростей является огибающей семейства степенных профилей. Коэффициенты могут быть вычислены из логарифмического профиля скоростей.

Степенной аппроксимации профиля скоростей соответствуют и степенные формулы для коэффициента гидравлического сопротивления. Средняя расходная скорость несжимаемой жидкости в круглой трубе

    (9.11.14)

где — радиус трубы.

Подставляя сюда распределение скоростей по формуле (9.11.13) и принимая во внимание, что , где С — коэффициент гидравлического сопротивления, получаем

    (9.11.15)

где

    (9.11.16)

Для отношения средней расходной скорости к скорости на оси трубы

    (9.11.17)

При получаем формулу Блазиуса

    (9.11.18)

пригодную для гладких труб в области .

Строго говоря, логарифмический профиль скоростей следует рассматривать как некоторый факт, выражающий существование универсального закона распределения скоростей при обтекании окрестности непроницаемой пластины турбулентным неограниченным изотермическим потоком несжимаемой жидкости. Во всех остальных случаях имеют место другие распределения скоростей.