11.6. ТЕПЛООТДАЧА К ТУРБУЛЕНТНОМУ ПОТОКУ ПРИ Рr>1

Для сред с числом в основной части потока значение близко к 1. Так, по опытам Людвига, вблизи стенки достигая на оси трубы значения 1,48.

Для развития процесса теплообмена при числах Рr > 1 существенна именно пристенная область, в которой имеет место наиболее сильное изменение температуры текущей среды. Поэтому в той же мере, как и приближение (11.5.14), в уравнении (11.5.16) можно положить . Это обстоятельство существенно облегчает вычисление интеграла в последней формуле.

Обращаясь к профилю скоростей в плоском турбулентном потоке, замечаем, что такой поток можно разделить на три области: 1) турбулентное ядро, распределение скоростей в котором с высокой степенью точности выражаетаг формулой (9.11.9); в этой области трение практически полностью определяете турбулентным перемешиванием; 2) промежуточный слой, распределение скоростей в котором определяется в первом приближении формулой (9.11.12); в этой области молекулярное и турбулентное трения соизмеримы, причем роль молекулярного трения увеличивается по мере уменьшения расстояния от твердой стенки; 3) вязкий слой, в котором решающее значение имеет молекулярное трение, и распределение скоростей с большой степенью точности выражается формулой (9.11.5).

Как видно из формулы (9.11.12) и рис. 9.2, распределение скоростей в промежуточном слое имеет сложный характер. Однако оно достаточно хорошо аппроксимируется полулогарифмической прямой аналогично профилю скоростей в турбулентном ядре. При этом, конечно, константы С и х имеют другие значения, чем в формуле (9.11.9), являясь чисто эмпирическими коэффициентами. Такая аппроксимация существенно упрощает вычисление интеграла в формуле (11.5.16).

Входящая в формулы для распределения скоростей величина связана с относительным радиусом следующим отношением:

Как видно из табл. 11.7, толщина вязкого слоя настолько мала, что в его пределах можно считать . Толщина промежуточного слоя несколько больше толщины вязкого слоя, и при малых числах Re значение в этом слое может отличаться на 10—30% от единицы.

Таблица 11.7. Значения относительного радиуса границы вязкого слоя , относительной толщины этого слоя , относительного расстояния промежуточного слоя от стенки трубы , относительной величины этого слоя и комплекса (принято: табл. 11.5)

Изложенное позволяет для случая представить формулу (11.5.16) в следующем виде:

Первый из интегралов (11.6.2) характеризует термическое сопротивление ядра потока, обусловленное полностью турбулентным перемешиванием. Второй — промежуточного слоя, в котором молекулярный и турбулентный переносы тепла соизмеримы. Третий — вязкого слоя, в котором интенсивность турбулентных пульсаций весьма мала, вследствие чего они сказываются на теплообмене только при больших значениях .

Координата соответствует оси трубы, — условной границе промежуточного слоя, — условной толщине вязкого слоя, которая может в известной мере отклоняться от истинного значения в зависимости от способа аппроксимации профиля скоростей в промежуточном слое.

Для каждой из рассмотренных трех областей потока существуют следующие расчетные соотношения:

турбулентное ядро:

промежуточный слой:

вязкий слой:

Воспользовавшись этими соотношениями, вычислим каждый из трех интегралов уравнения (11.6.2):

При с погрешностью

    (11.6.3)

Далее

где

При с погрешностью <= 1%

Полагая по графику рис. 9.6 находим, что . Подставляя значения интегралов из уравнений (11.6.3) и (11.6.4) в выражение (11.6.2), получаем

    (11.6.5)

где

    (11.6.6)

При значениях порядка единицы величина в вязком слое имеет порядок , т. е. много меньше единицы. Следовательно, при

и соответственно после подстановки численных значений , получаем

    (11.6.7)

Сопоставление формулы (11.6.5) с формулой (11.4.1), выведенной из весьма общих соображений для сред с , приводит к условию

    (11.6.8)

Некоторые значения функции , вычисленные по формуле (11.6.7) приведены ниже:

Полученное решение с большой степенью точности удовлетворяет общему условию (11.6.8).

Как видно из этого расчета, интенсивность теплоотдачи в турбулентном потоке возрастает с увеличением числа жидкости, причем степень его влияния несколько повышается в области больших числе . Такой характер функции вполне соответствует физической сущности рассматриваемого явления, ибо с увеличением числа Re возрастает роль термического сопротивления турбулентного ядра потока.

При числах перенос тепла за счет турбулентных возмущений, проникающих в вязкий слой из турбулентной области потока, становится соизмеримым с молекулярной теплопроводностью. В этом случае в третьем интеграле уравнения (11.6.2) уже нельзя пренебрегать значением величины по сравнению с единицей. Качественное различие турбулентных пульсаций в вязком слое и в ядре потока заключается в том, что возмущения в вязком слое не могут возникать и развиваться самопроизвольно, а проникают из турбулентного ядра, затухая по мере приближения к твердой стенке. В связи с этим изменение интенсивности турбулентного переноса с расстоянием от стенки в вязком подслое существенно больше, чем в ядре потока. По формуле (9.10.8) коэффициент турбулентной теплопроводности в вязком подслое можно записать в форме

где — множитель пропорциональности. Значение этого коэффициента может быть найдено из данных по теплоотдаче или диффузии при больших числах , когда значение величины оказывается порядка единицы и более. Подставляя выражение из (11.6.9) в третий интеграл уравнения (11.6.2), получаем

где

Подставив это выражение в уравнение (11.6.6), получим

или, после подстановки численных значений ,

    (11.6.11)

Здесь

    (11612)

Анализ опытных данных по массообмену в трубах при больших диффузионных числах показывает, что коэффициент . Графически зависимость изображена на рис. 11.8.

При малых и умеренных значениях турбулентная теплопроводность в промежуточном слое сравнительно невелика. Поэтому в этом случае оказывается возможным ограничиться так называемой двухслойной схемой турбулентного потока. По этой схеме поток разбивается на две части — ламинарный подслой и турбулентное ядро. Условная граница между ними находится как точка пересечения прямолинейного профиля скоростей в ламинарном подслое с логарифмическим профилем в турбулентном ядре. Соответствующее значение равно 11,6.

Полагая в уравнении , получаем теоретическую формулу для двухслойной схемы потока:

Эта упрощенная формула пригодна для газов и неметаллических жидкостей при .

Таким образом, при больших числах Прандтля, и

На рис. 11.9 дано сопоставление формулы (11.6.11) и предельной формулы (11.6.15) с рядом экспериментальных данных, систематизированных Сполдингом и Джайятиллаком в координатах , где .

Рис. 11.8. Значения по формуле (11.6.12) при

Рис. 11.9. Сопоставление формулы (11.6.11) (1) и предельной формулы (11.6.15) (2) с экспериментальными данными

Практически формулой (11.6.15) можно пользоваться при значениях с отклонением от расчета по общей формуле (11.6.11) менее 5%.

По формуле (11.1.14) , к формула (11.6.10) может быть представлена в виде

    (11.6.16)

Здесь

    (11.6.17)

причем численные коэффициенты скорректированы в пределах 1—2% так, чтобы при осуществлялся точный переход к формуле (11.4.1).

Как видно из табл. 11.8, функция в этой формуле при удовлетворительно аппроксимируется простой степенной зависимостью, введенной ранее из других соображений Рибо.

Введя в выражение (11.6.16) аппроксимацию из табл. 11.8 и значение , получим достаточно простую и надежную расчетную формулу для области чисел :

    (11.6.18)

Таблица 11.8. Значения функции в формуле (11.6.16)

В области удовлетворительные результаты дает степенная формула, структура которой была впервые предложена Нуссельтом:

    (11.6.19)

В табл. 11.9 дано сопоставление расчетов по формуле (11.6.16) и ее частным аппроксимациям. Для практических расчетов теплоотдачи неметаллических жидкостей можно рекомендовать формулу (11.6.18) при числах к формулу (11.6.15) при . При расчете теплоотдачи газов и других сред с числами , близкими к 1, можно пользоваться формулой (11.6.19).

Таблица 11.9. Сопоставления чисел , вычисленных по различным формулам для стабилизированного течения в прямой гладкой трубе в области чисел

Более детальное представление о температурном поле и поле тепловых по токов можно получить, решая уравнение (11.3.2) путем последовательных приближений.

Замечая, что

можем написать:

При этом в соответствии с выражением . Имея заданный профиль скорости, вычисляем интеграл (11.6.20) при . И полученного распределения температур корректируем отношение тем балансирования количества теплоты, переносимого в осевом и радиально-направлениях. При скорректированном значении этой величины вновь прои: водится интегрирование (11.6.20). Результаты таких расчетов, произведения Рейхардтом, а также Б. С. Петуховым и В. Н. Поповым, показали, что д сред с числами функция мало отличается от линейно Рассмотренные в этом разделе формулы применимы для расчетов теплой дачи при турбулентном течении в трубах газов, воды, масел и других немета. лических жидкостей.