26.3. ПРИЛОЖЕНИЕ ЗОНАЛЬНОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ НЕСКОЛЬКИМИ СЕРЫМИ ТЕЛАМИ

В случае двух серых тел система (26.2.9) для разрешающих угловых коэффициентов излучения имеет следующее решение:

Если излучающая система состоит из двух плоскопараллельных неограниченных пластин, то, очевидно, и, следовательно, . Полусферическая плотность результирующего излучения между такими пластинами на основании уравнения (26.2.7) определяется как

    (26.3.2)

Принимая во внимание, что получаем известную формулу Христианина:

где знаменателю

    (26.3.4)

в ряде случаев придается смысловое значение суммарного сопротивления переноса радиационной энергии, каждая из составляющих которого представляет собой сопротивление отдельной поверхности.

Система уравнений (26.2.9) для двух вогнутых тел имеет следующее решение:

где — коэффициент многократных отражений:

    (26.3.6)

Теплообмен между поверхностями двух тел, из которых одно (тело 1) не вогнуто и заключено внутри другого (тело 2) (рис. 26.4), определяется из следующих соображений. Так как тело 1 не имеет вогнутостей, то и соответственно . Следовательно, разрешающий угловой коэффициент, определяющий эффекты многократных лучистых взаимодействий тела 1 с окружающим его телом 2, на основании уравнений (26.3.5) записывается как

    (26.3.7)

Из условия на основании свойства замкнутости Учитывая это и принимая во внимание, что в 1,2), приводим уравнение (26.3.7) к следующему виду:

    (26.3.8)

Рис. 26.4. К расчету теплообмена между двумя телами, размещенными одно внутри другого

Здесь определяется из свойства взаимности: Полусферическая плотность результирующего излучения по поверхности тела таким образом, определится как

Из условия сохранения энергии в рассматриваемой системе тел определяется плотность результирующего излучения по поверхности тела 2:

    (26.3.10)

Рассмотрим теперь лучистое взаимодействие трех серых невогнутых тел, образующих замкнутую излучающую систему. Для этого случая система алгебраических уравнений, определяющих , решается в общем виде методом окаймления. Этот метод оказывается эффективным, когда требуется найти решение системы, для которой ранее получено решение усеченной системы, получающейся из данной вычеркиванием одного уравнения и одного неизвестного.

Пользуясь указанным приемом, Н. А. Рубцов получил обобщенное выражение для разрешающего углового коэффициента излучения системы из трех тел в следующем виде:

Здесь

    (26.3.12)

где — индексы, дополняющие систему индексации для обозначения замкнутой системы из трех тел (например, если , то . Если одно из тел излучающей системы является абсолютно черным, решение уравнения (26.3.11) существенно упрощается. Пусть таким телом будет тело . Тогда выражение

позволяет вычислять значения разрешающих угловых коэффициентов излучения для любых пар тел, в которых хотя бы одно тело было серым. Уравнение (26.3.11) может быть записано также в следующем, более компактном виде:

Значения для могут быть определены из уравнения замкнутости (26.2.6). Совершенно аналогичным образом отыскиваются расчетные формулы для излучающей системы из четырех серых невогнутых тел. Принципиальных затруднений в получении расчетных выражений для в излучающих системах из большего числа зон не имеется. Однако возрастающая при этом громоздкость расчетных операций делает нецелесообразным получение расчетных формул. В этом случае следует переходить в каждом конкретном расчете к численным методам решения. Метод окаймления получает здесь непосредственное применение в численном виде.

Рис. 26.5. К расчету теплообмена в электропечах

Приведенные выше результаты могут быть использованы во всех случаях, когда практически возможно дискретное рассмотрение полей температур и оптических констант. Показателен в этом отношении теплообмен излучением в высокотемпературных электропечах. Разобьем рабочее пространство электропечи на три условные изотермические и оптически однородные зоны (рис. 26.5): нагреваемого изделия , обмуровки 2 и нагревателя 3.

Рассмотрим стационарное тепловое состояние печи. Зададимся результирующими потоками нагревателя: по тепловыделению нагреваемого изделия , по его тепловосприятию а также температурой изделия по технологии его нагрева Требуется определить температуры нагревателя и футеровки . Все тела (зоны) рассматриваются как серые. Для решения задачи воспользуемся разрешающей системой (26.2.7), которую запишем применительно к лучистым потокам с использованием понятия средней разрешающей взаимной поверхности :

    (26.3.15)

Составляя (26.3.15) для зон и решая ее относительно , получаем

    (26.3.16)

Здесь определяется на основании уравнения баланса энергии

    (26.3.18)

Можно показать, что уравнения (26.3.16) и (26.3.17) приводятся к форме, содержащей оптические и геометрические характеристики в явном виде:

    (26.3.20)

Здесь — эффективная поверхность тела, которая связана с истинной поверхностью соотношением (25.7.5).