18.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ПОВЕРХНОСТЬЮ. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА

Кроме плотности газа в свободно-молекулярном потоке для процессов переноса существенны также обмен энергией и импульсом при столкновении молекул со стенкой и распределение скоростей молекул. Полнота энергообмена молекул на стенке характеризуется коэффициентом термической аккомодации

    (18.2.1)

где — потоки энергии падающих и отраженных молекул; ест — поток энергии, который уносился бы от стенки при полном энергообмене, т. е. при условии, когда энергия отраженных молекул соответствует температуре стенки.

По экспериментальным данным, для воздуха и конструкционных материалов коэффициенты термической аккомодации изменяются в пределах от 0,87 до 0,97. Для газов с небольшой молекулярной массой коэффициент аккомодации на поверхности специально очищенных металлов имеет малое значение. Например, для пары гелий — вольфрам .

Обмен касательным импульсом характеризуется коэффициентом аккомодации касательного импульса

    (18.2.2)

индексы «п» и «о» относятся к падающим и отраженным молекулам, — осредненное значение тангенциальной скорости. Если , отражение молекул от стенки полностью зеркальное, если — диффузное.

Для небольших скоростей молекул (порядка сотен метров в секунду) известно, что аккомодация касательного импульса совершенна, и можно использовать представление о диффузном рассеянии.

Расчеты процессов переноса тепла у элемента поверхности при установившемся течении проведены Эпштейном для малых скоростей, Столдером и Жуковым, Цзяном и другими исследователями для больших скоростей. Результаты теории свободно-молекулярного переноса тепла изложены далее согласно Цзяну, Шаафу, Пробстину.

Плотность теплового потока при свободно-молекулярном течении

    (18.2.3)

В одноатомном газе поверхностью воспринимается только энергия поступательного движения молекул. Поэтому

    (18.2.4)

Здесь — полная скорость молекулы в пространстве х, у, z; — масса молекул и — функция распределения скоростей, численно выражающая плотность молекул в единице объема пространства скоростей. Первым приближением в рассматриваемой проблеме является принятие равновесного или максвелловского распределения скоростей.

При наличии невозмущенной скорости потока газа

Для многоатомных газов необходимо учитывать внутреннюю энергию молекул, равномерно распределенную по степеням свободы в случае термодинамического равновесия. Поток внутренней энергии молекул на поверхность

    (18.2.6)

Здесь — число степеней свободы, принимающих участие в энергообмене; — число молекул, падающих на единицу поверхности в единицу времени:

    (18.2.7)

Таким образом, для многоатомных газов

    (18.2.8)

Можно показать, что поток энергии отраженных молекул многоатомного газа

    (18.2.9)

Подставляя значения и ест в уравнение (18.2.3) и принимая аккомодацию энергии одинаковой по всем степеням свободы, после интегрирования получаем

    (18.2.10)

Здесь ; — угол атаки.

Из формул (18.2.10) можно получить значение равновесной температуры стенки. При

Отсюда следует, что при и больших числах Маха отношение адиабатической температуры стенки к температуре торможения потока равно

    (18.2.12)

Таким образом, в свободно-молекулярном потоке т. е. коэффициент восстановления больше его значения в сплошном потоке газа. Он не зависит от коэффициента аккомодации в том случае, когда теплообмен только конвективный.

Из формулы (18.2.11) для сильно охлаждаемого тела и при полной аккомодации получим

    (18.2.13)

Это значение теплового потока — предельное при свободно-молекулярном переносе составляет половину рассеиваемой энергии, приходящейся на единицу поверхности и вычисленной по сопротивлению тела в потоке с большими числами М.

На рис. 18.1 изображена экспериментально полученная зависимость относительного коэффициента восстановления от числа Кнудсена при обтекании цилиндра воздухом:

    (18.2.14)

Рис. 18.1. Экспериментальные данные о коэффициенте восстановления температуры при обтекании цилиндра

где — коэффициент восстановления в ламинарном потоке (здесь принято . Из графика видно, что свободно-молекулярный режим имеет место при .

Интегрируя уравнение (18.2.10) по поверхности, можно получить суммарный тепловой поток для выпуклого тела любой формы. В частности, для цилиндра, сферы и плоской пластины с углом атаки на рис. 18.2 по расчетам Оппенгейма дана зависимость числа от :

где - общая поверхность тела. Множитель взят для удобства сравнения с числом в сплошном потоке ( — коэффициент термической аккомодации). Из рис. 18.2 видно, что при закон теплообмена для цилиндра и сферы практически не зависит от числа М и тепловой поток определяется параметрами и w. Для пластины число принимает предельное значение, равное нулю при весьма больших скоростях, согласно зависимости .

Для теплообмена в неподвижном газе с температурой Т уравнение (18.2.10) для выпуклых тел принимает вид

    (18.2.16)

Для тела в неограниченном объеме

    (18.2.17)

Простейшим случаем теплообмена в ограниченном объеме является перенос между двумя параллельными пластинами, когда влиянием краевых эффектов можно пренебречь. Если пластины имеют коэффициенты аккомодации и и температуры и

    (18.2.18)

При рассмотрении переноса тепла в объеме более сложной формы интегрирование уравнений для молекулярного переноса энергии существенно усложняется, так как необходимо при этом учитывать взаимное расположение элементов поверхностей, участвующих в тепловом взаимодействии.

Определенная выше граница свободно-молекулярного режима справедлива для газа, движущегося с малой скоростью или покоящегося, а также для неохлаждаемого тела при гиперзвуковых скоростях. Если тело сильно охлаждается, то при высоком коэффициенте аккомодации скорость отраженных молекул будет намного меньше скорости налетающих, и плотность потока молекул от тела будет столь большой, что возможные столкновения между молекулами вблизи тела будут играть существенную роль. В этом случае критерием свободно-молекулярного режима является число Кнудсена, найденное по средней длине свободного пробега отраженных молекул:

    (18.2.19)

Величина имеет порядок . Здесь — средняя длина свободного пробега молекул перед ударной волной.

Решение интегрально-дифференциального уравнения Больцмана в кинетической теории газов для случая почти свободно-молекулярного потока, когда необходимо учитывать первые столкновения отраженных молекул, показывает, что относительное значение теплового потока на стенке

Рис. 18.2. Теплообмен в свободно-молекулярном потоке: 1 — цилиндр; 2 — сфера; 3— пластина

    (18.2.20)

где в частном случае сферы . Эта формула справедлива в диапазоне .