8.2. РЕШЕНИЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ
Существует ряд решений (интегралов) уравнения Фурье. Одним из них, имеющим большое практическое значение, является произведение двух функций, из которых одна связана только с координатами, а другая — только со временем:
(8.2.1)
Дифференцируя это уравнение и подставляя соответствующие производные в уравнение (8.1.2), получаем
(8.2.2)
Таким образом, для того чтобы выражение (8.2.1) удовлетворяло уравнению (8.1.1), необходимо, чтобы функции 
, не зависящие друг от друга, удовлетворяли условию
(8.2.3)
Если тело с некоторой температурой 
погружено в среду с температурой 
, отличной от температуры этого тела, то в результате возникающего процесса теплообмена тело стремится к тепловому равновесию с окружающей средой. Когда 
, тело нагревается, когда 
, тело охлаждается. При отсутствии в теле внутренних источников тепла температура во всех его точках будет меняться во времени монотонно, стремясь к температуре окружающей среды.
Легко заметить, что если в абсолютных координатах нагрев и охлаждение тела изображаются двумя кривыми, то в безразмерных координатах оба процесса изображаются одной и той же кривой, так как при прочих равных условиях величина 
и при охлаждении, и при нагреве меньше нуля.
Действительно, при нагреве начальная температура тела 
меньше температуры тела в момент времени 
и меньше температуры окружающей среды 
при охлаждении, наоборот, 
. При этом для обоих случаев безразмерная температура 
в начальный момент равна единице, а при достижении полного теплового равновесия 
равна нулю. Этому условию удовлетворяет экспоненциальная функция
(8.2.4)
где 
— некоторая постоянная, что непосредственно следует из уравнения (8.2.3). Подставляя это значение 
в выражение (8.2.1), получаем
(8.2.5)
Подставляя последнее выражение в (8.2.3), получаем уравнение, определяющее функцию координат:
(8.2.6)
Это решение легко обобщается для случая, когда коэффициент температуропроводности, оставаясь одним и тем же во всех точках тела в данный момент времени, непрерывно изменяет свое значение в течение процесса, т. е. когда 
.
При таком условии переход от уравнения (8.1.1) к уравнению (8.2.6) может быть осуществлен введением функции времени, определенной как
(8.2.7)
