2.3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Вводя полученное выше значение субстанциональной производной в уравнение (2.2.10), получаем

В векторной форме это уравнение имеет вид

При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией (т. е. практически можно пренебречь влиянием изменения давления и кинетической энергией), уравнение распространения тепла в вещественной среде существенно упрощается и принимает вид

    (2.3.3)

Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость среды можно с достаточной точностью считать постоянными, то

    (2.3.4)

В неподвижной среде, в частности в твердом теле, w = 0 и при постоянных «физических свойствах

    (2.3.5)

При отсутствии внутренних источников тепла, умеренных скоростях течения и постоянных физических свойствах среды уравнение распространения тепла принимает наиболее простую форму (уравнение Фурье — Остроградского [2]):

    (2.3.6)

В это уравнение к, с (для газа ) и р входят не порознь, а вместе — в виде комплекса

    (2.3.7)

играющего здесь ту же роль, что и коэффициент диффузии в уравнении массопереноса.

Очевидно, что всякий комплекс, составленный из нескольких физических характеристик, может, в свою очередь, рассматриваться как новая физическая величина, характеризующая некоторые особые свойства среды.

Комплекс а, имеющий размерность , представляет собой отношение коэффициента теплопроводности среды к ее объемной теплоемкости. Это отношение можно рассматривать как меру скорости изменения температуры единицы объема тела при прохождении через него теплового потока, пропорционального . В соответствии с этой трактовкой комплексная физическая характеристика (2.3.7) называется коэффициентом температуропроводности среды или коэффициентом диффузии тепла. Таким образом, скорость изменения температурного поля во времени в твердом теле и жидкости, текущей с умеренной скоростью, при отсутствии внутренних источников тепла зависит только от одной физической характеристики — коэффициента температуропроводности.

При стационарном процессе и, поскольку ,

    (2.3.8)

Следовательно, конфигурация стационарного температурного поля в неподвижной среде с постоянными физическими свойствами и без внутренних источников тепла не зависит от физических свойств среды, а определяется только формой рассматриваемого тела и распределением температуры на его границах.

При наличии внутренних источников тепла стационарное температурное поле в неподвижной среде с постоянными свойствами примет вид

    (2.3.9)

В этом случае конфигурация температурного поля зависит от геометрии тела, плотности внутреннего источника тепла и коэффициента теплопроводности среды.

В среде, движущейся с умеренной скоростью, стационарное температурное поле определяется уравнением

    (2.3.10)

Следовательно, в этом случае конфигурация температурного поля зависит от коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости .

При отсутствии внутренних источников тепла стационарное температурное поле в среде с постоянными физическими свойствами, движущейся с умеренной скоростью, зависит только от коэффициента температуропроводности.