25.3. ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА

Основное место в проблеме теплового излучения занимает исследование распределения энергии излучения абсолютно черного тела по длинам волн спектра. Эта проблема исторически стала первой областью применения принципа квантования энергии. Введя понятие элементарного действия, Планк показал, что интенсивность монохроматического излучения, отнесенная к данной частоте v, выражается следующей формулой:

Здесь — постоянная Больцмана. Для удельной интенсивности монохроматического излучения, отнесенной к данной длине волны ,

    (25.3.2)

На основании закона Ламберта (закона диффузного излучения), согласно которому , можно получить формулу Планка для плотности полусферического черного излучения:

Аналогично для объемной плотности излучения из формулы (25.2.9) следует

Обычно выражение для плотности полусферического излучения , испускаемого черным телом в данном спектральном интервале при данной длине волны , записывается в следующей форме:

— константы, численные значения которых определяются выбором единиц измерения. Если выражена в метрах, то .

Рис. 25.5. Спектральное распределение плотности полусферического излучения при разных температурах абсолютно черного тела

На рис. 25.5 представлено спектральное распределение плотности полусферического излучения абсолютно черного тела для среднего интервала температур по длинам волн спектра, выраженных в микрометрах. Плотность излучения падает в области очень малых и очень больших длин волн и быстро увеличивается с повышением температуры черного тела. В области невысоких температур , где формула Планка для интенсивности монохроматического излучения вырождается в формулу Вина

Для длинноволнового диапазона спектра излучения и формула (25.3.2) переходит в формулу Рэлея—Джинса:

    (25.3.7)

Рис. 25.6. Распределение относительной плотности монохроматического излучения черного тела

С повышением температуры максимумы изотерм распределения плотностей (см. рис. 25.5), а также интенсивностей излучения смещаются в область меньших длин волн. Дифференцируя формулу (25.3.5) и полагая , находим длину волны , которой при данной температуре соответствует максимальная плотность излучения:

    (25.3.8)

или после пятого приближения разложения экспоненты

Если длина волны выражена в метрах, то , а если в микрометрах, то . Воспользовавшись соотношением (25.3.9), можно получить закон смещения для полусферического излучения:

    (25.3.10)

где

а также безразмерную запись закона Планка:

    (25.3.11)

Рис. 25.7. Универсальное распределение плотности монохроматического излучения черного тела

Формула (25.3.10) показывает, что максимальная монохроматическая плотность полусферического излучения абсолютно черного тела пропорциональна пятой степени температуры. На рис. 25.6 представлено распределение относительной плотности монохроматического излучения черного тела в зависимости от . Из (25.3.10) и (25.3.11) следует, что

    (25.3.12)

С помощью формул (25.3.11) и (25.3.12) на рис. 25.7 построено универсальное распределение, позволяющее определить плотность монохроматического излучения черного тела в широком диапазоне значений температур Т и длин волн X. Здесь величина определяется из соотношения , где — значение плотности излучения, представленное по оси ординат, N = 1, 2, 4, ... — число, соответствующее набору значений Т и , для которого отыскивается плотность излучения.

Штриховая линия, проходящая через точки максимумов изотерм, соответствует закону смещения Вина. Полная интенсивность излучения абсолютно черного тела определяется интегрированием формулы Планка (25.3.2) по длине волны от 0 до , т. е.

Введя новую переменную , разлагая подынтегральную функцию в ряд и интегрируя почленно, получим . Обозначив постоянную , запишем:

    (25.3.13)

    (25.3.14)

Этот закон был экспериментально установлен Стефаном и выведен теоретически, исходя из тзрмодинамических соображений, Больцманом и Б. В. Голицыным задолго до вывода формулы Планка (закон Стефана—Больцмана). Величину принято называть величиной Стефана-Больцмана.