8.3. ТЕМПЕРАТУРА — ФУНКЦИЯ ОДНОЙ КООРДИНАТЫ И ВРЕМЕНИ

Важнейшими частными случаями рассматриваемой проблемы являются процессы, в которых температура — функция только одной координаты. Уравнение (8.2.6) можно переписать в обыкновенных дифференциалах, и тогда оно примет вид:

для протяженной плоской стенки

    (8.3.1)

для протяженного цилиндра

    (8.3.2)

для шара

    (8.3.3)

При этом в уравнении (8.3.1) безразмерная координата , где — в данном случае полутолщина стенки, а в уравнениях (8.3.2) и (8.3.3) : здесь — характерный радиус тела.

Уравнению (8.3.1) удовлетворяют тригонометрические функции

Решения уравнения (8.3.2) имеют вид

где — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Решениями уравнения (8.3.3) являются функции

    (8.3.6)

Эти функции, являющиеся частными интегралами рассмотренных дифференциальных уравнений, распадаются на две группы — четные и нечетные. Суммируя и , получаем: для протяженной плоской стенки

    (8.3.7)

для протяженного цилиндра

    (8.3.8)

для шара

    (8.3.9)

Существуют процессы теплопроводности, которые нельзя описать рассмотренными выше решениями, представляющими температуру в виде произведена двух частных функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Тогда применяются функции иного типа, в которых рассмотренное выше разделение невозможно.

Дифференцированием и подстановкой можно показать, что, например, функции

    (8.3.10)

также являются интегралами дифференциального уравнения