26.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ

Под процессом переноса энергии излучения принято понимать собственное излучение, поглощение, а также многократные отражения на границе и рассеяния в объеме среды. Указанные явления имеют место при переносе излучения как в газовых средах, содержащих взвешенные в них частицы пыли, сажи, капельки жидкости и т. п., так и в твердых или жидких полупрозрачных телах и реализуются как в природных условиях, так и в различных областях техники (в камерах сгорания различного устройства, в металлургии, стекольной промышленности и т. п.).

Рис. 26.7. К выводу уравнения переноса энергии излучения

Рассмотрим законы изменения интенсивности или яркости излучения в поглощающей и излучающей средах. Количество энергии излучения, входящее через основание dF элементарного цилиндра (высота цилиндра пренебрежимо мала по сравнению с радиусом его основания), нормально ориентированного в направлении излучения S (рис. 26, 7), за время в пределах телесного угла и интервала длин волн от до к согласно уравнению (25.2.4), определится как

    (25.5.1)

Удельная интенсивность проходящего через элементарный цилиндр излучения меняется на величину вследствие чего на выходе из цилиндра

    (25.5.2)

Эти изменения вызваны как собственным излучением среды внутри цилиндра

так и поглощением излучения, которое, согласно уравнению (25.5.12), определяется как

    (26.5.4)

Здесь — спектральный коэффициент излучения. Составим уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении элементарного цилиндра:

    (26.5.5)

или после сокращений

    (26.5.6)

Последнее уравнение определяет изменение интенсивности излучения в поглощающей и излучающей средах и называется уравнением переноса энергии излучения. В этом уравнении спектральный коэффициент излучения представляет собой количество энергии, излучаемое единицей объема в пределах единичного телесного угла и интервала длин волн за единицу времени, связано с плотностью объемного собственного излучения очевидным соотношением

    (26.5.7)

В связи с этим уравнение (26.5.6) для поглощающих сред иногда записывают в следующем виде:

    (26.5.8)

В общем случае, когда среда не только поглощает и излучает, но и рассеивает излучение, в уравнении переноса излучения (26.5.8) следует вместо коэффициента поглощения использовать коэффициент ослабления излучения согласно выражению (25.5.6), а вместо — плотность объемного эффективного излучения, которая, согласно равенству (25.5.14), помимо собственного учитывает также и рассеянное излучение:

    (26.5.9)

Плотность рассеянного излучения в общем случае определяется следующим образом:

    (26.5.10)

где — индикатриса рассеяния, указывающая долю общего излучения, падающего в направлении S и рассеиваемого элементарным объемом с точкой М в направлении внутри телесного угла . Вероятность рассеяния излучения в направлении S внутри телесного угла определяется как

Следовательно, по аналогии с уравнением (26.1.12) должно выполняться условие замкнутости

    (26.5.11)

В случае сферической индикатрисы рассеяния, когда , имеет место изотропное рассеяние излучения. Рассеяние излучения частицами (молекулами и свободными электронами), размеры которых малы по сравнению с длиной волны , характеризуется индикатрисой, которая определяется по формуле Рэлея:

    (26.5.12)

и имеет распределение интенсивности рассеяния, симметричное относительно направления падающего излучения (рис. 26.8, а). Если излучение рассеивается частицами, размеры которых сопоставимы с длиной волны, индикатриса рассеяния, зависящая от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и показателя преломления вещества частицы, оказывается сильно вытянутой в направлении излучения (см. рис. 26.8, б).

Уравнение переноса излучения (26.5.9), таким образом, является весьма сложным интегро-дифференциальным уравнением яркости. В случае поглощающей и излучающей среды оно вырождается в обычное дифференциальное уравнение яркости (26.5.8). Уравнения переноса излучения (26.5.8) и (26.5.9) являются обобщениями известного закона Бугера, согласно которому учитывается ослабление интенсивности только за счет поглощения:

    (26.5.13)

Если среда диатермическая, то

    (26.5.14)

Неопределенность вида , возникающая при этом, раскрывается из соображений постоянства интенсивности вдоль на правления излучения S, значение которой для диффузно излучающих поверхностей определяется как

    (26.5.15)

В случае термодинамического равновесия следует полагать

    (26.5.16)

Далее с учетом уравнения (26.5.14) приходим к закону Кирхгофа

    (26.5.17)

для поглощающих сред. Так как плотность равновесного излучения связана с яркостью или интенсивностью соотношением

    (26.5.18)

причем

    (26.5.19)

то из условия (26.5.17) получаем выражение плотности собственного излучения

    (26.5.20)

Рис. 26.8. Индикатриса рассеяния излучения: а — размеры частиц малы по сравнению с длиной волны; б — размеры частиц сопоставимы с длиной волны

Получить уравнение (26.5.17) оказалось возможным благодаря использованию в выводе уравнения переноса излучения гипотезы о локальном термодинамическом равновесии. Согласно этой гипотезе каждый элементарный объем среды, имеющий произвольное температурное распределение, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре данного элемента среды. Милн доказал, что условия локального термодинамического равновесия определяются теми эффектами столкновений, которые обусловливают процессы поглощения и излучения энергии. Таким условиям удовлетворяют поглощающие среды, имеющие достаточно высокую оптическую плотность.

Проинтегрируем интегро-дифференциальное уравнение (26.5.9) почленно скалярно в пределах телесного угла :

    (26.5.21)

В случае сферической индикатрисы рассеяния величина , как функционал точки М может быть вынесена из-под знака интеграла, а первый интеграл в правой части представлен, согласно формуле (25.5.19), через плотность падающего излучения. Учитывая, что

    (26.5.22)

где — система прямоугольных координат, определяющих направление , получаем

    (26.5.23)

Используя понятие плотности объемного результирующего излучения , определяемой согласно равенству (25.5.17), получаем

    (26.5.24)

Для интегрального излучения в пределах всего спектра

    (26.5.25)

Это уравнение можно рассматривать как уравнение сохранения энергии. В этом случае плотность объемного результирующего излучения, будучи сложным функционалом, содержит всевозможные виды энергии. Если анализируется перенос излучения в собственном смысле этого слова (излучение в соленоидальном поле), то

    (26.5.26)

Интегрируя уравнение (26.5.9) для случая сферической индикатрисы рассеяния почленно векторно по телесному углу , получаем

    (26.5.27)

или для чисто поглощающей и излучающей среды

    (26.5.28)

Здесь — тензор излучения (аффинный ортогональный тензор второго ранга), характеризуется следующими составляющими: , которые определяют нормальные и касательные напряжения в поле излучения к площадкам, нормально ориентированным к осям координат причем (симметричность тензора), а

    (26.5.29)

Если состояние излучающей системы приближается к термодинамическому равновесию, то составляющие тензора Щ, определяющие касательные напряжения, становятся малыми. Это позволяет получить упрощенное представление для

    (26.5.30)

Здесь числовой коэффициент 1/3 определяется, согласно формуле (26.5.29), приблизительно одинаковыми значениями яркости и для всех направлений. Следовательно, для условий, близких к состоянию термодинамического равновесия, сферический вектор излучения имеет вид

    (26.5.31)

В соленоида льном поле излучения для поглощающих сред с учетом формулы (26.5.19)

Для серой среды и, следовательно,

    (26.5.33)

где — коэффициент проводимости излучения. Описанное градиентное представление для вектора излучения применимо лишь для условий, близких к равновесным. Для поглощающих сред с большими температурными градиентами выражение (26.5.31) следует рассматривать как грубую аппроксимацию интегрального уравнения (25.5.20). Степень такой аппроксимации определяется характером конфигурации излучающей системы, а также оптическими свойствами поглощающей среды. В физическом аспекте такое приближение основано на диффузном представлении переноса излучения по аналогии с теплопроводностью в газах. Такая аналогия, однако, возможна только для излучения с малой длиной свободного пробега фотона. Следовательно, приближенные решения, полученные на основе градиентного представления для вектора излучения, пригодны лишь для сильно поглощающих сред простейших конфигураций (плоскопараллельный слой).