9.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ В ПЛОСКОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Поле касательных напряжений в потоке жидкости и газа весьма консервативно относительно режима течения. Так, при стационарном, неускоренном течении в осесимметричном канале распределение касательных напряжений но поперечному сечению одинаково зависит от безразмерного радиуса как для ламинарного, так и для переходного и турбулентного режимов течения. Автомодельность поля касательных напряжений относительно режима течения с большой степенью точности выполняется и в пограничном слое при внешнем обтекании твердых тел.

Из уравнения движения и общих соображений о физических свойствах стационарного плоского пограничного слоя несжимаемой жидкости, обтекающей непроницаемую поверхность, следует, что на его границах должны выполняться следующие условия:

Таким образом, имеются хорошо фиксированные условия, позволяющие аппроксимировать неизвестное распределение касательных напряжений в пограничном слое с помощью степенного полинома. Шести условиям для касательного напряжения соответствует полином пятой степени.

При течении без градиента давления этот полином имеет вид

    (9.6.2)

где — относительное расстояние от стенки.

Практически для решения многих задач оказывается возможным ограничиться кубической параболой, коэффициенты которой определяются из условий

После вычислений находим, что данная аппроксимация профиля касательных напряжений имеет вид

    (9.6.4)

где

В данном случае не удовлетворяется условие .

Таблица 9.3. Сопоставление касательных напряжений вычисленных по полиномам разных степеней

Практически достаточность аппроксимации (9.6.4) для вычисления видна из табл. 9.3. Сопоставление с экспериментальными данными Миклея для обтекания пластины показано на рис. 9.1. Величина представляет собой специфическую форму записи числа Рейнольдса, в котором роль скорости выполняет произведение . Эта величина называется параметром Польгаузена, предложившего метод решения уравнения импульсов для ламинарного пограничного слоя путем аппроксимации профиля скоростей. Аппроксимация профиля профиля касательных напряжений, являющаяся более общей, была введена К. К. Федневским. Распределение продольной составляющей вектора скорости определяется из уравнения

    (9.6.6)

Отсюда следует, что при

    (9.6.7)

Рис. 9.1. Распределение касательных напряжений в турбулентном пограничном слое по формуле

При , и, следовательно,

    (9.6.8)

Таким образом, аппроксимирующий профиль скоростей определится интегральным соотношением

    (9.6.9)

Подставляя в последнее выражение значение и значение из уравнения (9.6.4), находим аппроксимирующий профиль скоростей в ламинарном пограничном слое при :

Приняв определенную схему турбулентного обмена, т. е. задав связь между , можно вычислить распределение скоростей и в турбулентном пограничном слое.