11.2. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ

Записав уравнение теплопереноса в цилиндрических координатах

положив в нем для установившегося осесимметричного прямолинейного ламинарного потока

    (11.2.2)

и подставив значения w из уравнения (11.1.6), получим

Введем следующие безразмерные координаты, полагая температуру стенки трубы постоянной:

где — температура жидкости при входе в трубу.

Уравнение (11.2.3) примет вид

где — критерий Пекле.

Расчеты показывают, что уже при величину можно считать пренебрежимо малой по сравнению с первым членом правой части уравнения (11.2.5), т. е. полагать, что

Как при нагревании, так и при охлаждении жидкости безразмерная температура Ф убывает вдоль течения. В связи с этим разыскиваем частное решение уравнения (11.2.6) в виде произведения двух функций, аналогично тому как это делалось при исследовании тела, стремящегося к тепловому равновесию.

Полагая идифференцируя (11.2.7), получаем

Подставляя эти значения производных в уравнение (11.2.6), после сокращения на приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

    (11.2.9)

общее решение которого имеет вид

    (11.2.10)

Краевые условия:

    (11.2.11)

По вычислениям Нуссельта

    (11.2.12)

Коэффициенты и приведены в табл. 11.2, а функция изображена на рис. 11.5.

Средняя по сечению трубы температура определяется формулой

    (11.2.13)

Рис. 11.5. Функции в формуле (11.2.12)

Таблица 11.2. Значения коэффициентов в формулах (11.2.10) и (11.2.12)

Подставляя сюда значение Т из уравнения (11.2.10), получаем

    (11.2.14)

Дифференцируя последнее уравнение, находим

    (11.2.15)

Граничное условие на стенке трубы имеет вид

    (11.2.16)

Принимая во внимание, что можем записать:

Из выведенных формул видно, что теплоотдача при ламинарном течении жидкости в трубе определяется комплексом . На рис. 11.6 изображено изменение критерия

    (11.2.18)

с ростом значения указанного ранее комплекса для нескольких типов каналов. Для круглой трубы предельное (наименьшее) значение критерия Нуссельта равно 3,66.

Повышенное значенне коэффициента теплоотдачи во входном участке объясняется тем, что температурное поле формируется постепенно на некотором расстоянии от места начала обогрева. При этом градиент температуры вблизи стенки трубы меняется от бесконечности в начальном сечении, где теоретически температура по всему сечению постоянна на стенке имеет место скачок температуры от до до значения, соответствующего уже стабилизированному температурному полю.

Рис. 11.6. Зависимость критерия от комплекса при ламинарном течении ( отнесено к среднелогарифмической разности температур): 1 — круглая труба; 2 — плоская щель; 3 — равносторонний треугольник

При задании условия постоянства плотности теплового потока на стенке трубы (q = const) значения среднего коэффициента теплоотдачи оказываются несколько более высокими, чем при условии . Стабилизированное значение числа при q = const для круглой трубы равно 4,36.

Решения, изображенные на рис. 11.6, могут быть аппроксимированы с достаточной для практических целей точностью двумя линиями: а) при значениях определяющего комплекса , меньших некоторого числа (см. табл. 11.3) Nu = const; б) при других значениях этого комплекса .

Для расчета теплоотдачи при ламинарном течении жидкости (без учета свободной конвекции) в каналах сложной геометрии с постоянной температурой стенки могут быть использованы формулы, приведенные в табл. 11.3.

Таблица 11.3. Формулы для расчета теплопередачи при ламинарном течении в каналах с различной формой сечения

Таблица 11.4. Значение чисел Nu при ламинарном течении в области стабилизованной теплоотдачи

В табл. 11.4 приведены значения числа Нуссельта при ламинарном течении для каналов с различной формой сечения и для различных законов изменения температуры стенки канала. На теплоотдаче при ламинарном течении существенно сказывается свободная конвекция. Подробно проблема теплообмена при ламинарном течении в трубах рассмотрена в монографии Б. С. Петухова.