§ 4. Изотропные флаги и спин-векторы

Задача данного параграфа состоит в том, чтобы подвести читателя к геометрическому понятию спин-вектора (спинора простейшего типа). На этом понятии будет покоиться геометрическое содержание спинорной алгебры, которая будет формально развита в последующих главах. Геометрическая интерпретация элементарных алгебраических операций между спин-векторами будет дана в § 5.

Наша цель заключается в том, чтобы найти некоторую геометрическую структуру в векторном пространстве Минковского

V (оно будет у нас геометрическим изображением спин-вектора х), для которой пара комплексных чисел введенная в § 2, могла бы служить координатным представлением. Мы уже видели, как связать направленный в будущее изотропный вектор К с если задана координатная система Минковского. Пара служит координатами вектора К; однако эти координаты являются для К избыточными, поскольку фазовое преобразование оставляет К неизменным [формула (1.2.15)]. Мы хотим связать с более богатую геометрическую структуру, при которой избыточность сводится к единственной (существенной) неопределенности в знаке. Такой структурой фактически будет «изотропный флаг» (т. е. предыдущий изотропный вектор К, представляющий с точностью до фазы) вместе с «полотнищем флага», т. е. изотропной полуплоскостью, прикрепленной к К и представляющей фазу. Но если фазовый угол изменяется на 0, то флаг поворачивается на , что приводит к упомянутой выше неопределенности в знаке. Она не может быть исключена никакой локальной или канонической интерпретацией в V; этот вопрос мы рассмотрим позже в данном параграфе.

Существенное требование к любому геометрическому изображению пары чисел состоит в том, чтобы оно не зависело от используемых координат. Если пара получена из путем спинового преобразования, соответствующего [согласно формуле (1.2.24)] некоторому пассивному лоренцеву преобразованию координат Минковского, то абстрактный спин-вектор представленный парой должен оставаться неизменным, как и его геометрическое представление. Таким образом, если пара задает геометрическое представление спин-вектора х в первой системе координат Минковского, то пара должна задавать точно такую же. структуру во второй системе.

Заметим, что здесь мы имеем дело с инвариантностью относительно пассивных преобразований. В последующих двух параграфах мы займемся изучением -локального изоморфизма между спиновой группой и ограниченной группой Лоренца, рассматривая группы как активные; однако в соответствии с замечаниями, сделанными в конце § 1, тот же самый изоморфизм сохраняет силу и в случае пассивных преобразований, так что после внесения соответствующих изменений частные результаты будут справедливы для пассивных преобразований.

Рассмотрение на сфере ...

Для начала покажем, как получить геометрическое изображение пары комплексных чисел в. пространстве изотропных направлений будущего а затем мы сделаем это в пространстве V. Как и раньше, пометим точки сферы комплексными числами при Покажем, что не только отношение но также по отдельности (с точностью до общего знака) можно естественным образом представить, выбрав в дополнение к изотропному направлению Р (помеченному числом один действительный вектор касательный к в точке Р (рис. 1.10). Чтобы охватить пространство производных действительных функций на сфере (которая представляет собой образ аргандовой плоскости), нам нужны действительная и мнимая части производной Теперь действительный вектор на (кроме особой точки в которой координату следует заменить другой координатой, например может быть представлен линейным дифференциальным оператором

с коэффициентами , выбранными так, чтобы он был действительным. Потребуем, чтобы величина К выражалась через таким образом, чтобы после осуществления (пассивного) спинового преобразования

выполнялось равенство

Рис. 1.10. Представление спин-вектора парой бесконечно близких друг к другу точек на сфере или, что эквивалентно, изотропным флагом.

где выражается через точно так же, как К через Из (1.4.2) получаем

поскольку в силу равенства (1.2.18) мы имеем Подставив выражение (1.4.4) в (1.4.3), найдем

откуда заключаем, что мы должны выбрать равным величине с неким численным множителем. Для удобства в дальнейшем выберем что даст нам

Обратно, если мы знаем в точке Р (как оператор), то с точностью до общего знака знаем пару Это видно из выражения (1.4.6): зная и сравнивая коэффициенты, мы можем найти а зная Р, мы знаем . Таким образом, мы можем найти а следовательно, и

Рассуждая, как и ранее, можно найти несколько другим путем. Пусть по-прежнему Р — точка сферы помеченная числом другая точка сферы приближающаяся к Р по гладкой кривой на Предельное направление определяется положением точки Р относительно Р, когда Р очень близка к Р. Запишем комплексное число, помечающее точку Р, в виде

Когда точка Р близка к точке — малая положительная величина, кзадратом которой можно пренебречь. Простые выкладки типа (1.4.4) показывают, что выражение (1.4.7) инвариантно

при спиновом преобразовании (1.4.2), если выполняется условие

Если «задать» произвольную величину то точками Р и определяются Следовательно (как и раньше), точками определяется пара (причем может рассматриваться как предельный случай). Требуемая пара «соседних точек» на задает ту же самую ситуацию, что и точка Р вместе с касательным вектором в Р (рис. 1.10). Причина этого заключается в том, что

В справедливости формулы (1.4.9) можно убедиться, заметив, что для любой функции мы имеем

в силу выражения (1.4.6).

Рассмотрение в пространстве V

Касательный вектор в абстрактном пространстве соответствует касательному вектору в координатно-зависимом представлении сферы Операторное выражение для (координатно-зависимого)

вектора формально то же самое, что и выражение (1.4.6) для (координатно-независимого) вектора

где представляют собой компоненты вектора в координатах пространства V. Различие возникает благодаря тому, что мы рассматриваем в (1.4.10) как операторы, действующие на функции, определенные на V, а не на причем на координаты налагаются два дополнительных условия, выделяющих подпространство пространства V (скажем,

Для ссылок в дальнейшем вычислим компоненты в явном виде, используя (1.2.8):

откуда

и поскольку в силу (1.4.10) выполняется равенство

мы имеем

Отсюда можно вычислить норму (очевидно, пространственноподобного) вектора [формула (1.1.13)]:

так что является единичным вектором в том и только в том случае, когда К [изотропный вектор, соответствующий паре в силу (1.2.15)] задает точку Р непосредственно на Фактически «длина» вектора L

изменяется обратно пропорционально протяженности вектора т. е. обратно пропорционально отношению [формулы (1.2.14) и (1.2.15)]. Мы будем писать

где — вектор, определяющий точку на Отметим также следующее. В то время как определение (1.4.10) для казалось бы, должно приводить к трудностям при и» (1.4.14) мы видим, что на самом деле трудности здесь не возникают, поскольку при вектор все-таки является хорошо определенным.

Если связаны между собой (пассивным) спиновым преобразованием и мы вычисляем относительно двух соответствующих координатных систем Минковского [используя (1.4.14)], то оказывается, что в общем случае они не связаны между собой преобразованием Лоренца. (Это явствует, например, из того, что вектор касательный к должен быть ортогонален координатной оси а ортогональность в общем случае не сохраняется при лоренцевом преобразовании.) Тем не менее плоскость П, натянутая на векторы К и является инвариантной, т. е. координатно-независимой, и, таким образом, она задает геометрическую структуру в пространстве V. Это станет понятным, если мы вспомним, что соответствует касательному вектору в и тем самым двум бесконечно близким изотропным направлениям, одно из которых К. Плоскость, натянутая на эти изотропные направления, очевидно, есть П.

Плоскость П теперь задается семейством векторов

и, следовательно, обладает требуемой инвариантностью. Чтобы придать смысл направлению вектора наложим условие

Оно превращает (1.4.17) в полуплоскость, скажем П, ограниченную вектором К. Эта полуплоскость и представляет собой искомый флаг. Вместе с К она определяет с точностью до знака. Действительно, зная К, мы знаем с точностью да общего фазового множителя, а зная направление вектора мы

можем получить фазу тем самым из (1.4.6). Заметим, что вектор пространственноподобен и ортогонален вектору К (будучи касательным к он имеет нулевую временную компоненту, а его пространственная часть, очевидно, ортогнальна пространственной части вектора К). Следовательно, полуплоскость П представляет собой одну половину изотропной 2-плоскости см. следующий параграф), т. е. она касательна к световому конусу. Она должна касаться светового конуса вдоль линии, проходящей через К. Мы будем называть П и К изотропным флагом или просто флагом. Вектор К будет называться флагштоком, его направление — направлением флагштока, а полуплоскость П — полотнищем флага.

Сделаем короткое отступление, чтобы напомнить читателю некоторые общие свойства изотропных плоскостей. Произвольная действительная плоскость

натянутая на два 4-вектора содержит не больше двух действительных изотропных направлений, которые задаются соотношением

Если эти изотропные направления совпадают, плоскость называется изотропной. Пусть в этом случае — единственное изотропное направление на такой плоскости; тогда (1.4.20) показывает, что на этой плоскости не существует никакого другого изотропного направления только в том случае, когда т. е. всякий другой вектор V на этой плоскости должен быть ортогонален вектору . А поскольку никакие два разных причинных направления не могут быть ортогональны с утверждением после неравенства (1.1.17)], всякий такой вектор V должен быть пространственноподобным. Угол между двумя изотропными плоскостями с общим изотропным вектором, скажем V, может быть определен как угол между любыми двумя неизотропными векторами, по одному в каждой плоскости; действительно, предполагая, что — два таких вектора, получим , следовательно, независимо от . В качестве интересного следствия мы получаем, что любое поперечное сечение Т светового конуса в V, даже если это сечение светового конуса искривленной гиперповерхностью, конформно-эквивалентно всем другим сечениям (и, следовательно, сечению ), соответствующие точки которых лежат на одной и той же образующей светового конуса (рис. 1.11). Данное следствие можно доказать разными способами и, в частности, рассмотрев бесконечно малый треугольник, который получается при пересечении трех

Рис. 1.11. Сечения изотропного конуса отображаются конформно друг на друга образующими конуса. Такое отображение наделяет сферу конформной структурой. Метрики на сфере возникают в пересечениях с пространственно-подобными гиперплоскостями. Метрики различных единичных сфер на сфере , совместимые с ее конформной структурой, отвечают различным единичным времениподобным векторам (т. е. векторам, нормальным к гиперплоскости).

заданных близлежащих образующих светового конуса произвольной гиперплоскостью. Поскольку близлежащие образующие принадлежат одной изотропной плоскости, наш предыдущий результат позволяет заключить, что все такие бесконечно малые треугольники будут подобны, чем и доказывается указанное следствие. Нам уже встречалось проявление этого следствия при рассмотрении гиперплоскости (1.2.12).

Рассмотрим более подробно вопрос о геометрической интерпретации «величин» вектора Мы не можем приписать большого смысла норме поскольку это придало бы нежелательный смысл метрике (Как мы видели выше, условие означает, что точка Р вектора лежит на должны рассматривать вектор в точке Р как «связанный» с началом О. Таким образом, если мы заменим точку Р некоторой другой точкой на лежащей в направлении будущего от точки О, то одновременно мы должны умножить на (см. рис. 1.10). Итак, вектор в точке Р «эквивалентен» вектору в точке Мы можем выбрать таким образом, чтобы вектор стал единичным вектором. Тогда мы получим поскольку наш выбор означает т. е. то же самое, что и (1.4.16). Таким образом

величина вектора просто характеризует местонахождение вектора К (в направлении Мы можем наглядно представить это с помощью Р и Р следующим образом. Рассмотрим близлежащие изотропные линии и Определим местонахождение точки на продолжив прямую до тех пор, пока расстояние между близлежащими линиями не Станет равно е. Заметим, что чем «ближе» друг к другу и тем больше будет протяженность

Присваивание флагам меток не зависит специфически от выбора координатной системы Минковского на V. (Некоторые другие типы координатных систем могли бы даже привести к более простым формулам, чем те, которыми пользовались мы.) Приписывание пары изотропному флагу может быть осуществлено более прямым путем, если ввести спиновую систему отсчета. Тогда координатная система на V не будет иметь значения. По существу, спиновая система отсчета определена, коль скоро известны флаги, соответствующие парам (1,0) и , но имеется еще одна небольшая трудность, связанная с неопределенностью в знаке. Она отпадает, если ввести понятие спин-вектора. Этим мы сейчас и займемся. Подробности необходимых геометрических операций будут даны в § 6.