§ 4. Дифференцирование спиноров

Теперь мы применим результаты, полученные в § 1—3, в том случае, когда есть четырехмерное пространство-время, а также расширим определение ковариантной производной так, чтобы этот оператор действовал на спинорные поля. Мы обнаружим, что производная Кристоффеля, введенная в § 3, канонически продолжается на спинорные поля. Это и неудивительно, поскольку спиноры допускают естественную геометрическую трактовку на основе тензорных объектов (с точностью до знака, но эта неоднозначность не приводит к каким-либо трудностям при изучении дифференциальных свойств). Однако мы стремимся рассматривать спиноры как величины, более фундаментальные, чем мировые тензоры. В гл. 3, § 1 мы показали, каким образом мировые тензоры можно рассматривать как специальные случаи спиноров. При таком подходе нам потребуется также отождествить мировые векторы с касательными векторами к пространству-времени Следовательно, поля мировых векторов нужно отождествить с дифференцированиями на алгебре гладких -действительных скалярных полей на Здесь мы рискуем впасть в логический круг, поскольку поля мировых векторов строятся двумя разными способами. Но мы избежим

логических противоречий, положив, что пространство полей мировых векторов есть пространство дифференцирований на алгебре , тогда как всякое пространство содержащее элементы или должно отождествляться с в соответствии со сказанным в гл. 3, § 1.

В гл. 3, § 1 отмечалось, что существует два логически различающихся подхода к спинорной алгебре на конструктивный и аксиоматический. Мы следовали конструктивному подходу в гл. 1. Четырехмерное пространство-время считалось заданным. На нем фиксирована сигнатура гладкая метрика, и предполагается, что многообразие в целом обладает следующими тремя свойствами: ориентируемостью во времени (1.5.1), ориентируемостью (1.5.2) и наличием спиновой структуры (1.5.3). Тогда спин-векторы можно определить геометрически (с точностью до несущественного общего знака пространства если односвязно; если же оно многосвязно, то определение спин-векторов может содержать глобальные неоднозначности, зависящие от ряда дискретных параметров, см. гл. 1, § 5). Чтобы охарактеризовать элементы базисного модуля нам потребуется понятие -гладкости для спин-векторного поля. Существует несколько эквивалентных способов дать такую локальную характеристику. Например, в односвязной окрестности всякой данной точки многообразия можно выбрать -систему ограниченных ортонормированных тетрад касательных векторов. В этом базисе спин-вектор характеризуется своими компонентами (см. гл. 1). Затем мы потребуем, чтобы были гладкими функциями класса во всякой такой окрестности, т. е. чтобы они были локальными комплексными скалярными полями. В то же время во всякой такой окрестности можно использовать спинорный базис , определенный с помощью поля тетрад (знаки фиксируются по непрерывности), и постулировать, что они принадлежат классу С, так что принадлежит классу в той же окрестности, если только принадлежат этому классу. Понятие -гладкости, очевидно, не зависит от специального выбора ортонормированной тетрады; следовательно, оно характеризует геометрические величины, образующие Определив таким образом базисный модуль который, очевидно, будет модулем над кольцом -комплексных скалярных полей вполне рефлексивным в силу сказанного в гл. 2, § 4, мы строим как в гл. 2, § 5. Элементы множества по определению есть действительные элементы множества очевидно, что они находятся во взаимнооднозначном соответствии с касательными векторами поскольку установлено локальное соответствие между тетрадой касательных векторов и спинорным базисом.

Можно также встать на аксиоматическую точку зрения. Тогда мы просто постулируем алгебраические требования к спинорной системе. Пространственно-временная структура, т. е. метрика, сигнатура, топологические требования, должна выводиться из этого набора постулатов. Конструктивный подход можно рассматривать как оправдание аксиом, выбранных для спинорной системы, поскольку они должны выполняться в любом пространстве-времени, в котором допустим конструктивный подход. В то же время существование спинорной алгебры можно рассматривать как более «глубокую» причину возникающей пространственно-временной структуры. Именно этому подходу мы будем в основном следовать. Таким образом, мы постулируем существование спинорной алгебры, следуя изложенному в гл. 2, § 5, а затем требуем, чтобы структуры были изоморфны соответственно скалярным полям и их дифференцированиям на М, определенным в соответствии с аксиомами § 1.

Требуемый изоморфизм между сопоставляет каждому дифференцированию единственный элемент и наоборот. (С учетом такого канонического изоморфизма не будет ошибкой называть также полями мировых векторов на .) Мы используем символ (или, что эквивалентно, для обозначения этого изоморфизма, т. е. отображение будет зайисываться в виде

Эти операторы действуют на действительные скаляры; следовательно, есть отображение из в . Можно расширить область определения этого оператора, включив в нее комплексные скаляры что приводит к отображению из

Далее можно определить

Следовательно, для любого данного мы имеем отображение из определенное как Очевидно, что оно -линейно; стало быть, для мы имеем элемент

Из (4.4.2) и (4.4.3) следует, что откуда

В частности, если то . Используя свойства дифференцирования, можно показать, что

где

Далее, мы желаем расширить определение оператора задавая его действие на произвольный спинор. Мы будем следовать изложенному в § 2. Оператор спинорной ковариантной производной мы определяем как отображение

удовлетворяющее требованиям

для всех определение оператора дано выше. Разумеется, мы можем написать вместо и использовать подстановку индексов, например

Такую возможность мы будем всегда подразумевать. [Однако следует помнить, что есть не подстановка индексов в а -свертка, а именно см. замечания после формулы (3.1.37).]

Мы расширим до отображения из потребовав, чтобы производная свертки удовлетворяла правилу Лейбница

Левая часть этого равенства определяет как отображение из в силу формул (4.4.6), (4.4.8) и (4.4.9); очевидно, что оно -линейно. С учетом (4.4.6) нетрудно убедиться, что соотношения

имеют место для всех Определим действие на и на с помощью отображений из а также из соответственно, как комплексное сопряжение:

Из выражения, комплексно-сопряженного выражению (4.4.10), и формулц непосредственно следует, что правило

Лейбница также применимо к свертке Более того, очевидно, что в силу формул (4.4.8), (4.4.9), (4.4.11) — (4.4.13) для имеют место линейность и правило Лейбница.

Теперь мы в состоянии определить действие на спинор общего вида Как и в соотношении (4.2.8), мы просто требуем, чтобы правило Лейбница имело место для сверток вида тогда соотношением

определяется как -мультилинейное отображение из в Таким образом, для всякого множества спиноров оператор определяет отображение

Аналогично соотношениям (4.2.10) — (4.2.13) выполняются равенства

Оператор обладает также свойством

(см. скан)

Далее, коммутирует со сверткой (не содержащей А или А)

Из (4.4.13) следует, что коммутирует с операцией комплексного сопряжения:

Формально это означает, что — действительный оператор:

В частном случае действительных мировых векторов оператором определяется тензор ковариантной производной удовлетворяющий условию в согласии с формулами (4.2.2) и (4.2.3). Обобщение такого на случай

ствительных мировых тензоров, очевидно, согласуется с определением, данным выше, поскольку требования (4.2.10) — (4.2.13), которыми оно определяется однозначно, удовлетворяются в силу свойств (4.4.16) — (4.4.20).