Дифференциальное условие Райнича
Предположим теперь, что в соответствии с этими допущениями задан тензор энергии-импульса 
удовлетворяющий условиям Райнича (5.3.1). Тогда в каждой точке интересующей нас области имеется гладкий тензор 
чисто электрического типа, которому соответствует тензор энергии-импульса 
Поставим вопрос: можно ли найти тензор поля 
при неком действительном 
, который удовлетворял бы уравнениям Максвелла и в силу этого представлял бы собой максвелловское поле, имеющее тензор энергии-импульса 
Если 
— симметричный спинор, соответствующий тензору 
причем 
то спинор 
будет соответствовать тензору 
Применяя уравнения Максвелла (5.1.57) к этому спинору, получаем
Сокращая экспоненциальный множитель, умножая на 
и используя (2.5.23), найдем далее
что после некоторого преобразования индексов дает
где 
— спинор, задаваемый этим равенством. Поскольку 
— действительная величина, 
— действительный вектор. Наша задача теперь сводится к отысканию тензорного эквивалента спинора 
и решению уравнения (5.3.12) относительно 
.
Прибегнем к явному построению. Продифференцировав обе части равенства (5.2.4), заменив в нем 
на 
выполнив однократную свертку и положив 
получим один член в правой части, имеющий вид
Продолжая построение далее, умножим (5.3.13) на (5.2.4) с 
вместо 
заменив индекс А на 
где также использовано условие действительности 
Последнее слагаемое в формуле (5.3.14) можно исключить, сделав комплексное сопряжение, переобозначив индексы и вычтя
полученное равенство из (5.3.14); действуя таким путем, получаем
где при переходе ко второй строке использовано соотношение (3.3.46): дуализация дает разность двух членов, различающихся положением пар индексов 
и 
как в предыдущей строке. Используя соотношение
получающееся из (5.1.68) и (5.2.2), можно перейти к тензорному представлению (5.3.15) (с очевидной заменой индексов):
Дифференциальное условие для 
теперь получается путем подстановки выражения (5.3.16) в условие интегрируемости уравнения (5.3.12):
которое должно выполняться, поскольку 
— скаляр. Если это условие выполняется, то дуальный угол 
определяется уравнениями (5.3.12) и (5.3.16) с точностью до аддитивной постоянной.
Анализ следствий из уравнений Максвелла в областях, содержащих поверхности, на которых поле изотропно (или нулевое), и в неодносвязных областях выходит за рамки нашего изложения. Заметим, однако, что алгебраическая часть этой теории одинаково применима и к неизотропным, и к изотропным полям.
